La trigonométrie est l'étude des angles et des distances dans un triangle. Si ça semble être un champ bien réduit des mathématiques, c'est en fait la base d'une bonne partie de la géométrie. En effet, on peut schématiser beaucoup de situations avec un triangle rectangle : on peut trouver des relations entre ses distances (Pythagore, Thalès), entre ses angles (angles supplémentaires, opposés, alternés...), et entre les distances et les angles (SOH CAH TOA).

Les vecteurs sont des quantités géométriques ayant une norme (longueur) et une direction (angle).

Il suffit donc de trouver les points communs : les vecteurs impliquent des distances et des angles, et la trigonométrie justement s'occupe de distances et d'angles. Dans ce cours, nous allons donc étudier les vecteurs et utiliser la trigonométrie pour les interpréter. Ce faisant, nous atteindrons les objectifs listés ci-dessous.

Les angles et le cercle trigonométrique

• Utiliser le cercle trigonométrique pour placer les images de réels x, et trouver graphiquement les images de ces réels modifiés de quantités en radians (fractions de pi); convertir des angles de degrés à radians, et inversement.
• Revoir les différentes relations entre les angles : complémentaires, supplémentaires, opposés.

Propriétés et utilisation des fonctions trigonométriques

• Déterminer graphiquement et  à l'aide d'une calculatrice le sinus ou le cosinus d'un angle; apprendre certaines propriétés des fonctions trigonométriques (bornes, somme des carrés...).
• Représenter une fonction trigonométrique sur un graphique et faire le lien entre déplacement angulaire et déplacement linéaire; comparer les fonctions sinus et cosinus.
• Utiliser les fonctions trigonométriques pour calculer des distances et des angles dans un triangle rectangle.

Définition et utilisation des vecteurs

• Représenter et déterminer graphiquement les coordonnées d'un vecteur.
• Effectuer des calculs sur des vecteurs: addition, soustraction, et multiplication scalaire.
• Utiliser les fonction trigonométriques pour analyser des vecteurs; application des vecteurs et de la trigonométrie en Physique.

Les angles peuvent être décris sur un cercle qu'on appelle cercle trigonométrique. Ce cercle se lit dans le sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d'une montre). Dans l'exemple ci-contre, on peut lire la valeur de plusieurs angles en degrés et en radians. Par exemple, un angle de 60° est égal à un tiers de Pi, ou Pi est une constante.

Pi (π) est en fait le ratio du périmètre P d'un cercle sur son diamètre d. En effet, quelles que soient les dimensions d'un cercle, ce ratio est toujours le même :

On voit aussi des nombres en bleu et en rouge : il s'agit des images des angles par les fonctions trigonométriques, dont nous parlerons plus loin.

Pour convertir des degrés en radians et inversement, il suffit de remarquer qu'un angle de 180° est égal à π. Le facteur de conversion donne :

Le radian n'est pas à proprement parler une unité - c'est le ratio de deux distances, donc sans unités - mais nous le considérerons comme tel.

Les relations entre les angles sont assez intuitives. Tout d'abord, on distingue les angles ouverts ou obtus (> 90°) et les angles fermés ou aigus (< 90°).

Deux lignes droites qui se croisent forment deux paires d'angles opposés. Chaque angle d'une paire est égal à l'autre.

L'angle α est inférieur à 90°; c'est donc un angle aigu. L'angle β est supérieur à 90°; c'est donc un angle obtus.

On notera par ailleurs que la somme des angles α et β est égale à 180°. On dit de ces angles qu'ils sont supplémentaires.

On déduit de cette première propriété une seconde : deux lignes parallèles coupées par une troisième forment les mêmes angles. Si on dessine un segment perpendiculaire aux deux lignes parallèles, on forme un triangle rectangle.

On sait que l'angle entre deux segments perpendiculaires est égal à 90°. Si on connaît l'angle α, sachant que sa somme avec β est égale à 180°, on peut déduire que :

On dit de ces angles qu'ils sont complémentaires.

On note par ailleurs que la somme des angles d'un triangle est toujours elle aussi égale à 180°.

Forts de ces propriétés, on peut facilement trouver des angles dans des situations relativement complexes. Par exemple, dans l'exemple ci-contre, on connaît l'angle α et on souhaite connaître l'angle δ. On note que les angles γ et δ sont complémentaires. Comme on sait que la somme de α et γ est égale à 90°, on en déduit que δ et α sont égaux.

Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus décrivent les valeurs que prennent les axes x et y d'un graphique lorsqu'on varie l'angle θ le long d'un cercle de rayon égal à l'hypoténuse.

Pour la fonction cosinus, il s'agit du ratio de la valeur de x (l'adjacente à l'angle) sur l'hypoténuse, qui reste constante.

Pour la fonction sinus, il s'agit du ratio de la valeur de y (l'opposée à l'angle) sur l'hypoténuse.

Il existe, parmi d'autres, une troisième fonction trigonométrique qui est en fait le ratio des deux premières; la fonction tangente.

On résume souvent ces trois fonctions trigonométriques par l'acronyme SOH CAH TOA :

Si on connaît les valeurs opposée, adjacente et/ou hypoténuse, on peut utiliser les fonctions trigonométriques inversées pour calculer l'angle.

Les propriétés des fonctions trigonométriques intéressantes sont nombreuses. Rien que pour les identités, il existe un article entier sur Wikipédia...

Nous n'en couvrirons ici que quelques unes :

• les fonctions sinus et cosinus sont séparés de 90° (ou la moitié de pi).

• la somme des carrés des fonctions sinus et cosinus d'un angle est égale à 1.

Angle (degrés)	Angle (radians)	cos(θ)	sin(θ)
0	0	1	0
30°	π/6	√3/2	1/2
45°	π/4	√2/2	√2/2
60°	π/3	1/2	√3/2
90°	π/2	0	1
120°	2π/3	-1/2	√3/2
135°	3π/4	-√2/2	√2/2
150°	5π/6	-√3/2	1/2
180°	π	-1	0
210°	7π/6	-√3/2	-1/2
225°	5π/4	-√2/2	-√2/2
240°	4π/3	-1/2	-√3/2
270°	3π/2	0	-1
300°	5π/3	1/2	-√3/2
315°	7π/4	√2/2	-√2/2
330°	11π/6	1/2	-√3/2
360°	2π	1	0

Il existe des valeurs pour les deux fonctions trigonométriques qu'on peut mémoriser. Si la liste semble longue, à l'usage on découvre que les valeurs se répètent et leur mémorisation s'en trouve facilitée.

On notera enfin que les valeurs de sin(θ) et cos(θ) oscillent entre -1 et 1. C'est pour cela qu'on utilise les fonctions trigonométriques pour décrire des oscillations entre deux extrema. Tout phénomène oscillatoire (vibrations, courant alternatif...) est donc décrit par une fonction trigonométrique.

Il reste à décrire explicitement la relation entre une roue qui tourne et les fonctions trigonométriques :

• lorsqu'une roue décrit un tour complet, on dit qu'elle a complété une période de 2π
• si on remplace l'échelle des radians par une échelle de temps, on constate que la période est le temps pris par la roue pour faire un tour complet (l'angle parcourut divisé par la vitesse angulaire)

• la fréquence - le nombre de tours effectué chaque seconde, ou le nombre de périodes par seconde - est simplement l'inverse de la période

• pour un petit temps Δt (fraction de T), l'angle parcouru est une fraction de 2π : Δθ.

Cela signifie que le produit de la vitesse angulaire avec le temps est un angle en radians. On peut donc insérer cette expression dans une fonction trigonométrique pour obtenir une position. Pour une roue de rayon A ou pour une oscillation d'amplitude A, la position x est donnée par la fonction suivante :

On a vu que les fonctions trigonométriques peuvent être utilisées pour décrire une onde ou un mouvement rotationnel. Dans le cadre de ce cours, nous ne les utiliserons que pour la géométrie et leur application dans le calcul de distances dans un triangle rectangle. Pour rappel, le côté le plus long d'un triangle rectangle s'appelle l'hypoténuse.

Supposons un triangle rectangle dont nous nommerons l'angle ACB thêta (θ).

Selon la fonction du sinus, cet angle est l'inverse du sinus (l'arc sinus) du ratio du côté opposé à l'angle sur l'hypoténuse du triangle rectangle.

Cet angle est aussi égal à l'arc cosinus de l'adjacente sur l'hypoténuse.

Enfin, cet angle est aussi égal à l'arc tangente de l'opposée sur l'adjacente.

On cherche :	L'adjacente	L'opposée	l'hypoténuse
On connaît :
L'adjacente		adj \times tan(\theta)	\frac{adj}{cos(\theta)}
L'opposée	\frac{opp}{tan(\theta)}		\frac{opp}{sin(\theta)}
l'hypoténuse	hyp\times cos(\theta)	hyp\times sin(\theta)

Si on connaît l'angle et un des côtés, trouver les autres côtés du triangle revient simplement à résoudre l'une des fonctions trigonométriques pour l'inconnue.

A titre indicatif, vous trouverez ci-contre un tableau décrivant comment calculer une dimension d'un triangle à partir de l'angle et d'une autre dimension. Il n'est pas nécessaire de les mémoriser toutes ces formules : il suffit de se rappeler de l'acronyme SOH CAH TOA et de savoir résoudre une équation pour son inconnue.

Comme on l'a déjà dit, un vecteur représente deux quantités : une norme ou longueur et une direction. Certains ouvrages sont plus précis et descriptifs et parlent de trois quantités: une norme, une direction et un sens. Dans ce cours, nous considérerons que la direction inclus le sens.

La représentation graphique d'un vecteur est une flèche. Ses coordonnées correspondent à son changement Δ sur chacun des axes d'un repère. En deux dimensions, ces axes sont l'horizontale x et la verticale y.

Dans l'exemple ci-contre, le vecteur va d'un point A à un point B. Le vecteur a donc comme coordonnées :

Comme le sens du vecteur est de A à B, le changement dans chaque coordonnée est :

On notera qu'un vecteur ne dépend pas de son point de départ ou de son point d'arrivé. Où qu'il soit dans l'espace, il a toujours les même coordonnées.

L'unité des coordonnées d'un vecteur dépend de ce que le repère représente. S'il représente l'espace, l'unité est le mètre. S'il représente la vitesse, l'unité est le mètre par seconde. S'il représente la force, l'unité est le newton. Comme on le voit, on peut utiliser les vecteurs pour représenter une large gamme de situations physiques.

Comme pour toutes quantités, on peut effectuer des opérations sur les vecteurs. L'addition (ou la soustraction) de vecteurs est donc possible.

Pour additionner deux vecteurs, il faut appliquer le principe d'indépendance de chaque dimension. En effet ce qui arrive dans une dimension n'affecte pas une autre dimension, et réciproquement. Par exemple, un projectile  avance à vitesse constante dans l'horizontale, mais décélère et accélère dans la verticale. Le mouvement dans chacune des dimensions est donc indépendant.

Supposons deux vecteurs :

Comme les deux dimensions sont indépendantes, la somme de ces deux vecteurs produit un troisième vecteur :

Il existe de types de produits sur les vecteurs : le produit scalaire ("."), qui donne une quantité qui n'est pas un vecteur, et le produit vectoriel ("×"), qui donne un vecteur dans une troisième dimension. Cela signifie que nous devons considérer deux "types" de multiplications sur trois cas : multiplication par une constante, multiplication scalaire entre deux vecteurs et multiplication vectorielle entre deux vecteurs.

Multiplication par une constante

Le produit d'un vecteur avec une constante k donne un vecteur dont chaque coordonnée est multiplié par cette constante. Notez le point symbolisant le produit scalaire.

Dans l'exemple ci-dessus, on a multiplié le vecteur qui va de A à B par 2 pour obtenir le vecteur qui va de C à D. Notez que j'ai déplacé ce dernier sur le repère pour qu'on puisse les distinguer. En effet, la position d'un vecteur est indépendante de ses coordonnées.

Multiplication scalaire entre deux vecteurs

Un produit scalaire donne un "scalaire" - un nombre qui n'est pas un vecteur. Par exemple en physique, lorsqu'on multiplie une force par une vitesse (tous les deux des vecteurs), on obtient une puissance, un scalaire qui ne contient pas l'information de direction.

Le résultat d'un produit scalaire entre deux vecteurs est la somme des produits dans chaque dimension.

ou

\vec{u}.\vec{v}= \left| \vec{u}\right|\left| \vec{v}\right|cos(\theta)

Produit vectoriel

Pour un produit vectoriel, le résultat est un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. Par exemple, un moment en physique est le produit vectoriel d'une force avec le vecteur position du point d'application par rapport à un axe. Si on connaît l'angle entre les deux vecteurs, alors la norme du produit vectoriel est donnée par l'expression suivante:

La direction du vecteur est donnée par la règle de la main droite : avec l'index pointant dans la direction du premier vecteur et le majeur pointant dans la direction du second, le pouce donne la direction du produit vectoriel.

Une autre méthode de calcul d'un produit vectoriel est simple mais un peu fastidieuse. S'il existe plusieurs stratégies, j'ai trouvé la méthode visuelle qui utilise une matrice la plus claire et la plus intuitive. Pour trois coordonnées i, j et k :

On peut calculer les différentes quantités décrivant les vecteurs en utilisant la trigonométrie. Tout dépend, comme toujours, de ce qu'on sait et de ce qu'on cherche.

Tout d'abord, si on connaît les coordonnées du vecteur, on peut calculer sa norme. C'est simplement l'hypoténuse du triangle rectangle que forme le vecteur avec l'axe horizontal. Notez que la norme est symbolisée par le vecteur entre une (US) ou deux (France) paires de barres verticales.

Toujours avec les coordonnées, on peut calculer l'angle (et donc la direction) que fait le vecteur avec l'horizontale :

Si c'est l'angle et la norme qu'on connaît, alors on peut trouver les coordonnées du vecteur :