Prenons un exemple d’équation simple – par simple, on entend que l’inconnue peut être isolée.
On souhaite faire une bouteille composée d’un cylindre et d’un cône. On sait que le volume doit être de 1 litre (\(1\ dm^{3}\)) et que les hauteurs du cône et du cylindre sont égales à \(1\ \text{dm}\), pour une hauteur totale de \(2\ \text{dm}\). Quel doit être le rayon ?
Pour répondre à cette question, il faut d’abord connaître les formules pour le volume d’un cône et d’un cylindre. Heureusement, notre prof de maths favori ou, plus probablement, Internet nous dit :
\[V_{cô\text{ne}} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{cô\text{ne}}\]
\[V_{\text{cyl}.} = \pi r^{2}h_{\text{cyl}.}\]
Nous savons que le volume entier (cylindre plus cône) doit être égal à \(1\ dm^{3}\). On écrit donc :
\[\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{\text{cône}} + \pi r^{2}h_{\text{cyl.}} = 1\]
Nous connaissons la hauteur du cylindre et du cône – simplement \(1\ \text{dm}\), donc l’équation se simplifie :
\[\frac{1}{3}\pi r^{2} + \pi r^{2} = 1\]
Par chance, l’expression peut se simplifier encore. Il ne reste plus qu’à la résoudre :
\[\frac{4}{3}\pi r^{2} = 1\]
On divise par quatre et on multiplie par trois les deux côtés :
\[\pi r^{2} = \frac{3}{4}\]
On divise les deux côtés par \(\text{π~}\):
\[r^{2} = \frac{3}{4\pi}\]
Et on prend la racine carrée des deux côtés :
\[r = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\]
Un problème de colis fragile qui glisse sur une pente : lourd en physique, lourd en résolution d’équations…
Beaucoup plus simple, l’utilisation d’une feuille de calcul pour résoudre une équation trop difficile à résoudre : le tireur de paintball.