Il peut arriver qu’on ait des informations sur une fonction, mais pas la fonction elle-même. Il est alors nécessaire de trouver la fonction. Oui, ça peut sembler évident, mais il est bon de le rappeler à certains : en général, ce qu’on cherche, c’est ce qu’on ne connaît pas…
Trouver la fonction revient à identifier \(n\) et calculer \(a\) et \(b\).
Pour identifier \(n\), il suffit de savoir la forme de la fonction : affine, carrée, cube, etc. C’est notre premier élément d’information.
Pour trouver \(a\) et \(b\), il faut mettre en place un système d’équations. En effet, s’il y a deux inconnues, il faut deux équations.
Ces deux équations nécessitent les coordonnées de deux points par lesquels passe la courbe représentant la fonction. Pour rappel : les coordonnées d’un point sont un set de deux nombres entre parenthèses, séparés par un point-virgule.
Supposons les coordonnées d’un point \(A\) et d’un point \(B\ \):
\[A:\left( x_{A};y_{A} \right)\]
\[B:\left( x_{B};y_{B} \right)\]
On intègre ces coordonnées dans la fonction :
\[y_{A} = ax_{A}^{n} + b\]
\[y_{B} = \text{ax}_{B}^{n} + b\]
On peut résoudre la première équation pour \(b\ \):
\[b = y_{A} - ax_{A}^{n}\]
… et mettre le résultat dans la deuxième équation :
\[y_{B} = \text{ax}_{B}^{n} + y_{A} - ax_{A}^{n}\]
Il ne reste plus qu’à résoudre pour \(a\ \):
\[ax_{B}^{n} - ax_{A}^{n} = y_{B} - y_{A}\]
Ce qui veut dire ici factoriser \(a\), et résoudre :
\[a\left( x_{B}^{n} - x_{A}^{n} \right) = y_{B} - y_{A}\]
\[a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B}^{n} - x_{A}^{n}}\]
Pour trouver \(b\), il suffit d’insérer ce qu’on a trouvé dans la première ou la seconde équation, et de résoudre pour \(b\) :
\(b = y_{A} - \left( \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B}^{n} - x_{A}^{n}} \right)x_{A}^{n}\) ou \(b = y_{B} - \left( \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B}^{n} - x_{A}^{n}} \right)x_{B}^{n}\)
Incidemment, on a le choix entre deux équations pour trouver \(b\). Même si ce n’est pas nécessaire, il est malin de calculer les deux : si on obtient deux fois le même résultat, on a tout juste. Sinon : on a dû commettre une erreur quelque part, et il faut la trouver…
Par exemple :
J’ai une fonction qui ressemble à une fonction racine. Elle passe par les points \((25\ ;2)\) et \((36\ ;1)\).
J’insère les coordonnées de ces deux points dans deux fonctions racine. J’obtiens un système d’équations.
\[2 = 25^{1\text{/}2}a + b\]
\[1 = 36^{1\text{/}2}a + b\]
Je résous la première équation pour \(b\ \):
\[b\ = \ 2 - 5a\]
Et je mets le résultat dans la deuxième équation :
\[1 = 6a + 2 - 5a\]
Je résous le tout pour \(a\ \):
\[a = \frac{1 - 2}{6 - 5} = - 1\]
Et je mets le résultat dans les deux équations initiales pour trouver \(b\ \):
\[2 = - 5 + b\]
\[1 = - 6 + b\]
Je résous les deux équations pour \(b\) – ça devrait me donner le même résultat :
\[b = \ 2 + 5 = 7\]
\[b\ = \ 1 + 6 = 7\]
Ayant identifié les deux inconnues, je peux enfin écrire la fonction que la courbe représente :
\[f\left( x \right) = - x^{1\text{/}2} + 7\]