Rappelons-nous quel était notre objectif : résoudre une équation à \(n\) inconnues.
Déjà, nous avons vu que nous pouvons réécrire un système de trois équations sous forme de matrices :
\[a_{x}x + a_{y}y + a_{z}z = A\]
\[b_{x}x + b_{y}y + b_{z}z = B\]
\[c_{x}x + c_{y}y + c_{z}z = C\]
…devient :
\[\begin{pmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ \end{pmatrix}\]
Appelons la première matrice \(M\), celle contenant les inconnues \(X\), et celle contenant les constantes \(A\). On obtient alors l’équation :
\[M \times X\ = \ A\]
Normalement, pour résoudre cette équation, on doit multiplier les deux côtés du signe égal par l’inverse de la matrice. On obtiendrait alors :
\[X = M^{- 1} \times A\]
La question est donc : comment trouver \(M^{- 1}\ \)?
Si c’était une équation simple, on devrait trouver le nombre qui, multiplié par le nombre qu’on cherche à faire passer de l’autre côté du signe égal, donnerait 1.
Ici, on cherche la matrice qui, multipliée par \(M\), donnerait la matrice unitaire (une matrice égale à 1).
\[\begin{pmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]
Vous pouvez vous amuser à multiplier n’importe quelle matrice par la matrice unitaire, et vous verrez qu’en effet, elle est égale à 1 : le résultat serait la matrice que vous avez multipliée par la matrice unitaire.
Sans plus d’explications, passons à la procédure pour trouver \(M^{- 1}\). Et pour faciliter la lecture, prenons une matrice \(2 \times 2\).
\[M\ = \ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\]
Tout d’abord, on doit trouver la comatrice. La comatrice d’une matrice \(M\) est une matrice qui contient les cofacteurs de la matrice \(M\). On se souvient de comment trouver les cofacteurs :
\[\left( - 1 \right)^{i + j}\ \det\left( A_{\text{ij}} \right)\]
Donc, la comatrice de notre matrice est :
\[\text{com}\ M\ = \ \begin{pmatrix} d & - c \\ - b & a \\ \end{pmatrix}\]
Maintenant, on prend la transposée de la comatrice. La transposée est simplement la matrice où les termes en haut à droite sont intervertis avec les termes en bas à gauche – les lignes sont maintenant des colonnes, les colonnes des lignes. Prenant un exemple avec une matrice \(3 \times 3\ \):
\[A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}\]
\[\,^{t}A = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \\ \end{pmatrix}\]
Donc, prenons la transposée de notre comatrice :
\[\,^{t}\text{com}\ M = \begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \\ \end{pmatrix}\]
Et enfin, on divise tout par le déterminant de la matrice.
\[M^{- 1} = \frac{1}{\text{ad} - \text{bc}}\begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \\ \end{pmatrix}\]
J’ai promis plus tôt que le produit d’une matrice avec son inverse donne la matrice unitaire. On va essayer ça :
\[\begin{pmatrix} \frac{d}{\text{ad} - \text{bc}} & \frac{- b}{\text{ad} - \text{bc}} \\ \frac{- c}{\text{ad} - \text{bc}} & \frac{a}{\text{ad} - \text{bc}} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\text{ad} - \text{bc}}{\text{ad} - \text{bc}} & \frac{\text{bd} - \text{bd}}{\text{ad} - \text{bc}} \\ \frac{- \text{ac} + \text{ac}}{\text{ad} - \text{bc}} & \frac{- \text{bc} + \text{ad}}{\text{ad} - \text{bc}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]
Tout cela fait une procédure à étapes multiples pour trouver l’inverse d’une matrice.
Incidemment, pour trouver l’inverse d’une matrice avec une feuille de calculs, la fonction est :
=INVERSEMAT(matrice)
Et voilà la troisième fois que la feuille de calculs fait tout le travail à notre place.