Primitives

La primitive est presque la réciproque de la dérivée.

Pour rappel, la réciproque d’une opération est l’opération qui annulerait son effet. Par exemple, la réciproque de l’opération ajouter 3 est retirer 3.

Prenons l’hypothèse qu’on a décrit tout à l’heure.

Pour ,

La réciproque de la dérivée, qu’on appelle primitive et qu’on note , est l’opération inverse. Il n’y a qu’à inverser :

Pour ,

Ça ne va pas beaucoup nous aider.

D’abord, occupons-nous de l’exposant. Pour trouver la dérivée, il fallait retirer 1. Pour faire l’inverse, on supposera qu’il faut ajouter 1.

Ensuite, on multipliait par l’exposant. Pour faire l’inverse, on supposera qu’il faut diviser par l’exposant mais attention : l’exposant plus 1.

Pour ,

Pourquoi ? Parce que comme ça, ça marche.

La preuve :

La dérivée de est . Pour retrouver la fonction , je n’ai qu’à prendre la primitive de .

Apparemment, ça marche. Mais attention, c’est incomplet.

Au début, j’ai dit que la primitive était presque la réciproque de la dérivée. C’est parce que la dérivée d’une constante est égale à zéro.

Imaginons qu’on ait une fonction affine :

La dérivée du premier terme est, suivant notre hypothèse, . La dérivée de la constante, comme on l’a vu, est zéro. Donc :

Essayons maintenant de retrouver la fonction de départ en prenant la primitive de cette dérivée :

Mais c’est faux ! La fonction originale contenait un terme constant, et il a disparu.

Lors du processus, la constante a disparu, et il est impossible de la retrouver. On doit donc présumer, lorsqu’on prend la primitive d’une fonction, qu’elle inclut une constante dont nous ne connaissons pas la valeur. Appelons-là .

Pour ,