On définit la fonction :On l’a vu, le volume d’un cylindre est simplement la surface de sa base multipliée par sa hauteur.
\[V = \pi r^{2}h\]
Et si cette hauteur était une fonction de \(r\ \)? Pour un cylindre normal, cette fonction est une constante, mais si c’était une fonction linéaire, ou carré, ou n’importe quelle fonction.
Ici, nous allons utiliser notre capacité à décrire une courbe avec une fonction, puis l’appliquer au concept d’intégrale – l’addition de petits morceaux, le théorème fondamental de l’analyse.
Prenons un cône. Sa base est \(\pi r^{2}\).
Un cône peut être divisé en petits cylindres de hauteur \(dh\). On en déduit la formule pour un petit volume \(\text{dV}\ \):
\[\text{dV} = \pi r^{2}dh\]
Rappel : \(\text{dV}\) se dit dérivée de V et \(dh\) se dit dérivée de h. \(V\) et \(h\) sont des fonctions.
Maintenant, prenons l’apothème d’un cône. C’est une fonction linéaire qui va des coordonnées \(\left( 0;H \right)\) aux coordonnées (\(R;0)\). On en déduit la fonction \(h\left( r \right)\ \):
\[h\left( r \right) = \frac{0 - H}{R - 0}r + H\]
\[h\left( r \right) = H - \frac{H}{R}r\]
Pour calculer un élément de volume \(\text{dV}\), nous avons besoin de la dérivée de \(h\). Trouvons là :
\[dh = - \frac{H}{R}\text{dr}\]
On intègre ce résultat à l’expression du volume \(\text{dV}\ \):
\[\text{dV} = - \pi r^{2}\frac{H}{R}\text{dr}\]
Maintenant, nous pouvons prendre l’intégrale aux deux côtés de l’équation. A gauche, la variable d’intégration est le volume, donc on intègre de 0 à \(V\ \); à droite, la variable d’intégration est \(\text{dr}\), donc on intègre de 0 à \(R\).
\[\int_{0}^{V}\text{dV} = - \pi\frac{H}{R}\int_{0}^{R}{r^{2}\text{dr}}\]
Notez comme j’ai sorti les constantes qui multipliaient la variable d’intégration. La primitive en sera plus évidente.
\[\left\lbrack V \right\rbrack_{0}^{V} = - \pi\frac{H}{R}\left\lbrack \frac{r^{3}}{3} \right\rbrack_{0}^{R}\]
Appliquons les limites d’intégration :
\[V - 0 = - \pi\frac{H}{R}\left( \frac{R^{3}}{3} - 0 \right)\]
Tout cela se simplifie :
\[V = - \frac{1}{3}\pi HR^{2}\]
Ça ressemble en effet à la formule qu’une rapide recherche sur internet donne, mais pourquoi le signe négatif ?
C’est parce qu’on a commis une petite erreur sans grande importance : on a mal défini nos variables d’intégration du rayon. Et quand je dis sans grande importance, je mens.
Je disais qu’on additionnait des petits cylindres de hauteur \(dh\). Mais au début, le cylindre a un rayon égal à \(R\). A la fin, il a un rayon de 0. Il faut donc d’inverser les variables d’intégration pour le rayon :
\[\int_{0}^{V}\text{dV} = - \pi\frac{H}{R}\int_{R}^{0}{r^{2}\text{dr}}\]
\[\left\lbrack V \right\rbrack_{0}^{V} = - \pi\frac{H}{R}\left\lbrack \frac{r^{3}}{3} \right\rbrack_{R}^{0}\]
\[V - 0 = - \pi\frac{H}{R}\left( 0 - \frac{R^{3}}{3} \right)\]
\[V = \frac{1}{3}\pi HR^{2}\]
Lors de l’écriture de ce cours, j’ai presque volontairement commis cette erreur pour insister sur un point : il faut bien réfléchir avant de décider des variables d’intégration : où commence-t-on, où fini-t-on. Sinon, on se retrouve avec des résultats insensés qui prennent environ dix minutes à corriger alors qu’on doit préparer son prochain cours au lieu d’écrire des trucs que personne ne lit…
Le cours a été annulé, amusons-nous un peu : et si la fonction était une fonction carrée ?
Imaginons donc un cône dont l’apothème est défini par une fonction carrée. La hauteur de cette forme (le vertex) est \(H\), et le rayon de la base est \(R\).
On définit la fonction :
\[h\left( r \right) = \frac{0 - H}{R^{2} - 0}r^{2} + H\]
\[h\left( r \right) = H - \frac{H}{R^{2}}r^{2}\]
On trouve la dérivée et on l’intègre à la formule pour le volume d’un cylindre d’épaisseur \(dh\ \):
\[dh = - 2\frac{H}{R^{2}}r\ \text{dr}\]
\[\text{dV} = - 2\pi\frac{H}{R^{2}}r^{3}\text{dr}\]
Plus qu’à prendre l’intégrale (Je ne commets pas la même erreur que tout à l’heure) :
\[V = - 2\pi\frac{H}{R^{2}}\left\lbrack \frac{r^{4}}{4} \right\rbrack_{R}^{0}\]
Et on simplifie.
\[V = \frac{\pi}{2}HR^{2}\]
On peut calculer manuellement (avec une feuille de calculs) la somme des volumes de petits cylindres de hauteur \(\Delta h\) et comparer : ça marche.
Pour une simulation de ce précédent calcul, une appliquette Geogebra : volume sous une fonction carrée.