Imaginez le tableau : vous jouez à Pictionnary avec votre famille. A un moment donné, au lieu de dessiner un arrosoir ou une tarouple, vous écrivez une équation différentielle du premier degré non-homogène et sa résolution. Pour sûr, votre famille serait impressionnée.
A part ça, les équations différentielles sont des équations où les variables sont des fonctions.
Et qu’est-ce qu’on fait, avec une équation ? On la résout.
Premier degré
Homogène
Imaginons une équation différentielle homogène du premier degré :
Qu’est ce qui fait de cette équation une équation différentielle ?
La fonction 
et sa dérivée 
sont présentes.
Qu’est ce qui fait de cette équation différentielle une équation homogène ?
Toute l’équation est égale à zéro.
Et pourquoi on l’appelle homogène ?
Probablement parce qu’elle n’est pas hétérogène. Non, en fait, je ne sais pas.
Mais au fait, on a déjà résolu une équation différentielle comme ça, lors de la stratégie d’intégration par séparation des variables :
On sépare les variables :
On prend la primitive des deux côtés ; on n’oublie pas d’ajouter les constantes :
On résout pour 
:
Et on simplifie. On note que 
est une constante, qu’on appellera 
.
Alors c’est quoi, la procédure de résolution d’une équation différentielle homogène du premier ordre, si on savait déjà le faire ?
Hé bien, c’est exactement ça :
Pour toute équation différentielle de la forme :
La solution est :
… où dépend des conditions initiales.
Toute cela n’explique pas grand-chose. Prenons un exemple numérique (avec des valeurs) :
,
Vous avez noté la condition initiale ? C’est que quand 
,
.
Ici, j’ai une équation différentielle du premier ordre et une condition initiale.
J’applique la solution :
Puis la condition initiale :
La solution complète est donc :
Les équations différentielles ne sont donc pas si compliquées.
Pour l’instant.
Prenons un exemple en physique :
Un condensateur chargé est connecté à une résistance. Un courant se crée, et le condensateur se décharge.
La tension sur le condensateur dépend de sa capacitance 
et
de la charge 
qu’il contient :
La tension sur la résistance est donnée par la loi d’Ohm :
Et l’intensité est la charge passant par un point chaque seconde :
La loi des mailles énonce que la somme des tensions est nécessairement égale à zéro. On écrit donc :
On peut réorganiser cette expression pour qu’elle s’apparente à notre modèle d’équation différentielle du premier ordre :
On applique la solution :
La condition initiale est qu’a ,
le condensateur a une charge initiale 
.
On applique cette condition initiale à la solution :
Et on reporte la solution complète :
Cette fonction donne la charge sur un condensateur en fonction du temps.