Les équations différentielles sont d’abord et avant tout une méthode simple et efficace de briller en société.
Imaginez le tableau : vous jouez à Pictionnary avec votre famille. A un moment donné, au lieu de dessiner un arrosoir ou une tarouple, vous écrivez une équation différentielle du premier degré non-homogène et sa résolution. Pour sûr, votre famille serait impressionnée.
A part ça, les équations différentielles sont des équations où les variables sont des fonctions.
Et qu’est-ce qu’on fait, avec une équation ? On la résout.
Imaginons une équation différentielle homogène du premier degré :
\[\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + \lambda y = 0\]
Qu’est ce qui fait de cette équation une équation différentielle ?
La fonction \(y\) et sa dérivée \(\frac{\text{dy}}{\text{dt}}\) sont présentes.
Qu’est ce qui fait de cette équation différentielle une équation homogène ?
Toute l’équation est égale à zéro.
Et pourquoi on l’appelle homogène ?
Probablement parce qu’elle n’est pas hétérogène. Non, en fait, je ne sais pas.
Mais au fait, on a déjà résolu une équation différentielle comme ça, lors de la stratégie d’intégration par séparation des variables :
On sépare les variables :
\[\frac{\text{dy}}{y} = - \lambda\text{dt}\]
On prend la primitive des deux côtés ; on n’oublie pas d’ajouter les constantes :
\[\ln\left( y \right) + c_{1} = - \lambda t + c_{2}\]
On résout pour \(y\ \):
\[y = e^{- \lambda t + c_{2} - c_{1}}\]
Et on simplifie. On note que \(e^{c_{2} - c_{1}}\) est une constante, qu’on appellera \(k\).
\[y = e^{c_{2} - c_{1}}e^{- \lambda t}\]
\[y = ke^{- \lambda t}\]
Alors c’est quoi, la procédure de résolution d’une équation différentielle homogène du premier ordre, si on savait déjà le faire ?
Hé bien, c’est exactement ça :
\[\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + \lambda y = 0\]
La solution est :
\[y = ke^{- \lambda t}\]
… où \(k\) dépend des conditions initiales.
Toute cela n’explique pas grand-chose. Prenons un exemple numérique (avec des valeurs) :
\(\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 3y = 0\), \(y\left( 0 \right) = 5\)
Vous avez noté la condition initiale ? C’est que quand \(t = 0\), \(y = 5\).
Ici, j’ai une équation différentielle du premier ordre et une condition initiale.
J’applique la solution :
\[y = ke^{- 3t}\]
Puis la condition initiale :
\[y\left( 0 \right) = ke^{- 3\left( 0 \right)}\]
\[5\ = \ k\]
La solution complète est donc :
\[y = 5e^{- 3t}\]
Les équations différentielles ne sont donc pas si compliquées.
Pour l’instant.
Prenons un exemple en physique :
Un condensateur chargé est connecté à une résistance. Un courant se crée, et le condensateur se décharge.
La tension sur le condensateur dépend de sa capacitance \(C\ \)et de la charge \(q\) qu’il contient :
\[U_{C} = \frac{q}{C}\]
La tension sur la résistance est donnée par la loi d’Ohm :
\[U_{R} = \text{Ri}\]
Et l’intensité est la charge passant par un point chaque seconde :
\[i = \frac{\text{dq}}{\text{dt}}\]
La loi des mailles énonce que la somme des tensions est nécessairement égale à zéro. On écrit donc :
\[\frac{q}{C} + R\frac{\text{dq}}{\text{dt}} = 0\]
On peut réorganiser cette expression pour qu’elle s’apparente à notre modèle d’équation différentielle du premier ordre :
\[\frac{\text{dq}}{\text{dt}} + \frac{1}{\text{RC}}q = 0\]
On applique la solution :
\[q = ke^{- \frac{1}{\text{RC}}\ t}\]
La condition initiale est qu’a \(t = 0\), le condensateur a une charge initiale \(Q_{0}\).
\[q\left( 0 \right) = Q_{0}\]
On applique cette condition initiale à la solution :
\[Q_{0} = ke^{- \frac{1}{\text{RC}}\ 0}\]
\[k = Q_{0}\]
Et on reporte la solution complète :
\[q = Q_{0}e^{- \frac{t}{\text{RC}}}\]
Cette fonction donne la charge sur un condensateur en fonction du temps.