Revenons un instant sur le concept d’énergie. L’énergie \(E\) est la capacité d’un système à faire du travail \(W\). Dans un espace unidimensionnel:

\[dW=Fdx\label{eq:def_travail}\]

L’énergie donnée par un système à l’environnement est perdue. Par convention, on lui donne un signe négatif. Ainsi, le travail fait par un système sur l’environnement revient à une perte d’énergie par le système, mais à un gain d’énergie par l’environnement.

\[\Delta E=-W\label{eq:def_energie}\]

Cette capacité peut donc être soit dépensée, soit conservée.

Dans le cadre de ce document, nous allons définir les différents types d’énergie dans différentes situations, et étudier différentes stratégies pour en déduire les fonctions décrivant l’évolution d’un système au cours du temps.

Une force non-conservatrice est une force qui ne conserve pas l’énergie mais la converti en une autre forme. Par exemple, lors de la friction entre deux objets, une partie de leur énergie cinétique est convertie en chaleur, l’énergie du mouvement des molécules.

Prenons un objet se mouvant à vitesse constante \(v\). A un temps \(t=0\), cet objet subit une force de friction dynamique \(F_{D}\) telle que:

\[F_{D}=-\mu mg\label{eq:force_frottement dynamique}\]

On peut s’attendre à ce que la vitesse de l’objet change, nous sommes donc dans une situation dynamique: c’est la seconde loi de Newton qui s’applique. On écrit donc:

\[-\mu mg=m\frac{dv}{dt}\]

On en déduit l’équation de vitesse de l’objet. Résolvons pour \(dv\):

\[dv=-\mu gdt\]

On prend l’intégrale des deux côtés:

\[\int_{v_{0}}^{v}dv=-\mu g\int_{0}^{t}dt\]

\[v-v_{0}=-\mu gt\]

On obtient une expression pour la vitesse en fonction du temps:

\[v(t)=v_{0}-\mu gt\]

On note que la vitesse décroît linéairement. Cette décroissance dépend du coefficient de friction et de la gravité.

Le travail fait par la force de friction se calcule en prenant l’intégrale de la force sur une distance \(\Delta x=x-x_{0}\):

\[W=\int_{x_{0}}^{x}-\mu gdx\]

\[W=-\mu g(x-x_{0})\]

Du point de vue du système, ce travail est négatif. Le système perd donc de l’énergie, ici sous forme de chaleur. Vu de l’extérieur, l’énergie est positive - elle est donnée par le système à l’environnement.

Une force conservatrice est une force qui ne génère pas de pertes - qui conserve l’énergie dans un même type : mécanique, électromagnétique, etc.

Prenons par exemple un ressort. En le compressant, on lui donne de l’énergie qu’il conserve jusqu’à ce qu’on le relâche. Selon la loi de Hooke:

\[F_{k}=-kx\label{eq:loi_hooke}\]

Reprenons le même exemple de l’objet qui se meut à vitesse constante \(v_{0}\). A un moment \(t=0\) et une position \(x_{0}=0\), l’objet rencontre un ressort. Nous sommes encore dans une situation dynamique:

\[-kx=m\frac{dv}{dt}\]

On réorganise:

\[\frac{d{{}^2}x}{dt{{}^2}}+\frac{k}{m}x=0\]

Nous sommes en présence d’une équation différentielle du second ordre. Nous écrivons donc l’équation caractéristique:

\[r{{}^2}+\frac{k}{m}=0\]

\[r=\pm j\sqrt{\frac{k}{m}}\]

La racine est imaginaire. Nous trouvons sa primitive et nous écrivons la solution de l’équation différentielle.

\[R=\pm j\sqrt{\frac{k}{m}}t\]

\[x=Ae^{j\sqrt{\frac{k}{m}}t}+Be^{-j\sqrt{\frac{k}{m}}t}\]

En utilisant la relation de Euler \(e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x)\), on obtient:

\[x=A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+B\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\]

Les conditions initiales sont \(x(0)=0\) et \(x'(0)=v_{0}\). On les applique à la fonction et à sa dérivée pour trouver les constantes.

\[A=0\]

\[v_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}B\]

\[B=v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}\]

On obtient donc une fonction pour la position et pour la vitesse d’un objet entrant en collision avec un ressort.

\[x(t)=v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\]

On prend la dérivée de \(x(t)\) pour trouver la vitesse:

\[v(t)=v_{0}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\]

Étudions maintenant le travail fait par le ressort sur l’objet. La vitesse angulaire est \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\), donc la période est \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\). Au bout d’un quart de période (\(T=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\)), le ressort est compressé.

Le travail fait par le ressort lors de la compression est:

\[dW=-kxdx\]

\[W=-\frac{k}{2}x{{}^2}\label{eq:travail_ressort}\]

La position lorsque le ressort est compressé est donc:

\[x(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}})=v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\right)\]

\[x=v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}\]

L’énergie emmagasinée par le ressort à ce point est donc:

\[W=-\frac{k}{2}\left(v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}\right){{}^2}\]

\[W=-\frac{m}{2}v{{}^2}\label{eq:energie_cinetique}\]

On reconnaît ici l’énergie cinétique d’un corps en mouvement : le ressort conserve toute l’énergie cinétique de la masse au bout d’un quart de période.

Maintenant, si on calcule le travail fait par le ressort au bout d’une demie période:

\[x=v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\pi\sqrt{\frac{m}{k}})=0\]

\[W=-\frac{k}{2}(0){{}^2}=0\]

On en déduit qu’après un retour à \(x_{0}\), il n’y a plus d’énergie dans le ressort : l’énergie a été entièrement restituée à l’objet.

On en conclut qu’en l’absence de frottements, l’énergie mécanique totale est conservée, c’est à dire restituée par le système, sans pertes.

Étudions maintenant une situation dans laquelle les deux types de forces sont présentes. Par exemple, un ressort auquel une masse est attachée, puis tirée et relâchée. On observe qu’elle oscille, c’est à dire qu’elle monte et descend à une période donnée.

La situation est dynamique, donc c’est la seconde loi de Newton qui s’applique. Ici, les forces en présence sont la force de rappel (loi de Hooke [eq:loi_hooke]) et une forme d’amortissement dépendant de la vitesse : le frottement visqueux \(\gamma\).

\[F_{\gamma}=-\gamma\frac{dx}{dt}\label{eq:frottement_visqueux}\]

La lettre grecque \(\gamma\) représente le coefficient de frottement visqueux.

Écrivons maintenant la loi de Newton pour cette situation:

\[m\frac{d{{}^2}x}{dt{{}^2}}+\gamma\frac{dx}{dt}+kx=0\]

C’est une équation différentielle du second ordre. Avant d’aller plus loin et pour faciliter la lecture, réorganisons cette équation:

\[\frac{d{{}^2}x}{dt{{}^2}}+\frac{\gamma}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0\]

On écrit et résout l’équation caractéristique:

\[r{{}^2}+\frac{\gamma}{m}r+\frac{k}{m}=0\]

\[r=\frac{-\frac{\gamma}{m}\pm\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{m{{}^2}}-4\frac{k}{m}}}{2}\]

Réorganisons encore pour dégager des constantes:

\[r=-\frac{\gamma}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{\gamma}{2m}\right){{}^2}-\frac{k}{m}}\]

Nous créerons donc les constantes \(\zeta=\frac{\gamma}{2m}\) et \(\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\). Les solutions deviennent alors:

\[r=-\zeta\pm\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}\]

A ce stade, plusieurs cas de figure peuvent se présenter.

Amortissement critique

Si \(\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}=0\), \(r=-\zeta\). La solution de l’équation différentielle est alors:

\[x=ke^{-\zeta t}\]

Prenons comme condition initiale que \(x(0)=x_{0}\)- la position initiale de la masse avant qu’elle ne soit relâchée.

\[x(t)=x_{0}e^{-\zeta t}\label{eq:amortissement_critique}\]

C’est une exponentielle inverse, donc on peut estimer un mouvement relativement lent vers \(x=0\) sans oscillation.

Sur-amortissement

Si \(\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}>0\), \(r=-\zeta\pm\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}\). La solution de l’équation différentielle est alors:

\[x(t)=e^{-\zeta t}\left(Ae^{\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}t}+Be^{-\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}t}\right)\]

Prenons à nouveau \(x(0)=x_{0}\) comme condition initiale:

\[x_{0}=A+B\]

Nous avons besoin d’une seconde condition initiale. Nous savons que la vitesse initiale, au moment où on relâche la masse, est nulle - \(v(0)=0\). La dérivée de notre solution, évaluée à zéro, est égale à zéro. Le système d’équations obtenu est simple mais fastidieux à résoudre:

\[x'(0)=-\zeta\left(A+B\right)+A\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-B\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}\]

\[0=A(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-\zeta)-B(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)\]

\[0=A(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-\zeta)-(x_{0}-A)(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)\]

\[0=A(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-\zeta)-x_{0}(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)+A(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)\]

\[A(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-\zeta+\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)=x_{0}(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)\]

\[A=\frac{x_{0}(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)}{2\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}}\]

\[B=x_{0}-\frac{x_{0}(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)}{2\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}}\]

\[B=\frac{2x_{0}\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-x_{0}(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)}{2\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}}\]

\[B=\frac{x_{0}(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-\zeta)}{2\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}}\]

C’était beaucoup d’algèbre, mais nous arrivons finalement à la solution de l’oscillateur sur-amorti:

\[x(t)=\frac{x_{0}}{2\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}}e^{-\zeta t}\left((\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}+\zeta)e^{\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}t}+(\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}-\zeta)e^{-\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}t}\right)\label{eq:sur_amortissement}\]

L’expression entière est une exponentielle : le ressort revient un peu plus rapidement à sa taille avant contraction ou extension.

Régime pseudo-périodique

Si \(\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}<0\), \(r=-\zeta\pm j\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t\). La solution de l’équation différentielle est alors:

\[x(t)=e^{-\zeta t}\left(Ae^{j\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t}+Be^{-j\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t}\right)\]

Nous avons déjà utilisé la relation de Euler pour dégager de cette expression une expression réelle:

\[x(t)=e^{-\zeta t}\left(A\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+B\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)\right)\label{eq:solution oscillateur pseudo-p=0000E9riodique}\]

Nous appliquons les mêmes conditions initiales :

\[x_{0}=A\]

Prenons la dérivée et appliquons la seconde condition initiale - \(v_{0}=0\):

\[x'(0)=-\zeta A+B\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}\]

\[0=-\zeta x_{0}+B\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}\]

\[B=\frac{x_{0}\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\]

Encore beaucoup d’algèbre pour en arriver finalement à la solution du régime pseudo-périodique d’un oscillateur:

\[x(t)=x_{0}e^{-\zeta t}\left(\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)\right)\label{eq:pseudo_periodique}\]

On peut utiliser enfin une identité trigonométrique:

\[a\cos(x)+b\sin(x)=c\cos(x+\phi)\label{eq:id_trig1}\]

\[c=\sqrt{a{{}^2}+b{{}^2}}\]

\[\phi=\arctan\left(\frac{-b}{a}\right)\]

La solution prend alors la forme:

\[x=x_{0}e^{-\zeta t}\sqrt{1+\frac{\zeta{{}^2}}{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\cos\left(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t+\arctan\left(\frac{-\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\right)\right)\]

\[x=\frac{x_{0}\omega_{0}}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}e^{-\zeta t}\cos\left(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t-\arctan\left(\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\right)\right)\]

C’est une fonction produit d’une exponentielle avec une sinusoïde : l’oscillateur oscille et son amplitude décroît exponentiellement avec le temps.

Étudions maintenant une autre forme d’énergie : l’énergie électrique. Dans un circuit, une résistance dissipe l’énergie électrique sous forme de chaleur. C’est l’effet Joule :

\[P_{J}=I{{}^2}R\]

La résistance est donc analogue au frottement en mécanique.

La tension est une augmentation ou une chute du potentiel électrique dans un circuit. Selon la loi d’Ohm:

\[U_{R}=IR\]

Un inducteur est une bobine, et une bobine parcourue par un courant électrique alternatif produit une tension:

\[U_{L}=L\frac{dI}{dt}\]

Comme l’énergie électrique est stockée et restituée par l’inducteur, il est analogue à un ressort en mécanique.

On définit maintenant l’impédance \(Z\), la tendance qu’a un composant électrique à opposer le va-et-vient des électrons, et donc du courant alternatif. On comprend, vu le contexte de ce document, que les types d’impédances sont liées à leur rapport à l’énergie : si elles dissipent l’énergie ou si elles la conservent. Quoiqu’il en soit, la loi d’Ohm s’écrit en termes d’impédance:

\[U=ZI\]

L’impédance est une quantité complexe - ce n’est pas un jugement de valeur, c’est un qualificatif.

Une quantité complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire. En analyse de circuit, la partie réelle correspond à l’impédance résistive \(R\), due aux résistances; la partie imaginaire correspond à la réactance \(X\) - l’impédance d’un composant qui stocke et restitue l’énergie.

Définissons une intensité:

\[I=I_{0}\cos(\omega t)\]

C’est la partie réelle \(\mathcal{\Re}\)d’un nombre complexe:

\[I=\mathcal{\Re}(I_{0}e^{j\omega t})\]

En appliquant cette définition à la tension sur un inducteur, on en dégage sa réactance:

\[U_{L}=L\frac{d(I_{0}e^{j\omega t})}{dt}\]

\[U_{L}=j\omega LI_{0}e^{j\omega t}\]

On en déduit, grâce à la loi d’Ohm, la réactance d’un inducteur :

\[X_{L}=j\omega L\]

La représentation d’un nombre complexe par un vecteur tournant permet de visualiser et manipuler les nombres complexes. Prenons le temps de nous y attarder.

On peut représenter une fonction sinusoïdale par un vecteur de Fresnel - un vecteur tournant dont une dimension est réelle, l’autre imaginaire. Par exemple, une tension alternative...

\[U=U_{0}\cos(\omega t)\]

... devient, sous forme complexe:

\[\underline{U}=U_{0}e^{j\omega t}\]

Lorsqu’on représente un nombre complexe par un vecteur de Fresnel, on peut déduire deux quantités. Pour un nombre complexe \(z=a+ib\):

• le module (norme du vecteur)

\[|z|=\sqrt{a{{}^2}+b{{}^2}}\label{Module}\]

• l’argument (angle du vecteur par rapport à l’axe réel)

\[\arg(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\label{Argument}\]

On l’aura deviné: l’argument est l’angle \(\varphi\) que fait le vecteur avec l’horizontale.

On peut donc projeter un nombre complexe sur l’axe des réels - très utile pour revenir à des quantités réelles.

\[\Re(\underline{z})=|z|\cos(\varphi)\]

Et on peut traduire, comme on l’a fait précédemment, ce cosinus en exponentielle:

\[\underline{z}=|z|e^{j\varphi}\]

Fin du cours de maths, et revenons aux circuits sous une tension alternative.

La loi d’Ohm avec des quantités complexes s’écrit:

\[\underline{U}=\underline{Z}\underline{I}\]

Revenons à notre circuit RL, et supposons que nous souhaitions déterminer l’intensité sous une tension complexe. On écrit:

\[\underline{I}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}\]

L’impédance complexe \(\underline{Z}\)est la somme vectorielle des impédance réelles et imaginaires.

\[\underline{Z}=R+j\omega L\]

Le module et l’argument de l’impédance complexe sont donc ici:

\[|Z|=\sqrt{R{{}^2}+(\omega L){{}^2}}\]

\[\arg(Z)=\arctan\left(\frac{\omega L}{R}\right)\]

On substitue les quantités complexes qu’on a défini:

\[\underline{I}=\frac{U_{0}e^{j\omega t}}{\sqrt{R{{}^2}+(\omega L){{}^2}}e^{j\varphi}}\]

On rassemble les quantités imaginaires:

\[\underline{I}=\frac{U_{0}}{\sqrt{R{{}^2}+(\omega L){{}^2}}}e^{j(\omega t-\varphi)}\]

On peut enfin revenir à la partie réelle de cette expression:

\[I=\frac{U_{0}}{\sqrt{R{{}^2}+(\omega L){{}^2}}}\cos(\omega t-\varphi)\label{Intensit=0000E9 circuit RL}\]

Pour obtenir les expressions pour la tension sur la résistance ou l’inducteur, on n’a qu’à appliquer la loi d’Ohm à l’intensité qu’on vient de trouver:

\[U_{R}=\frac{U_{0}R}{\sqrt{R{{}^2}+(\omega L){{}^2}}}\cos(\omega t-\varphi)\]

\[U_{L}=\frac{U_{0}\omega L}{\sqrt{R{{}^2}+(\omega L){{}^2}}}\cos(\omega t-\varphi)\]

Ceux d’entre nous qui ont déjà étudié les circuits électriques alternatifs retrouveront ici la représentation de Fresnel des tensions dans un circuit présentant une inductance.

Nous avons compris que l’énergie peut être stockée dans un ressort ou dans un champ gravitique. Prenons un instant pour déterminer l’énergie qu’il est possible de stocker dans un inducteur ou un condensateur.

Dans un condensateur, l’énergie électrique est stockée dans un champ électrique. On peut trouver l’énergie stockée à partir de la définition de la puissance.

\[P=UI\]

\[\frac{dW}{dt}=\frac{q}{C}\frac{dq}{dt}\]

\[dW=\frac{q}{C}dq\]

\[W=\frac{q{{}^2}}{2C}\]

Pour un condensateur complètement chargé, comme \(U_{0}=\frac{Q_{0}}{C}\):

\[W_{C}=\frac{C}{2}U_{0}{{}^2}\]

Dans un inducteur, l’énergie est stockée dans un champ magnétique. Suivant le même raisonnement:

\[\frac{dW}{dt}=L\frac{dI}{dt}I\]

\[dW=LIdI\]

\[W_{L}=\frac{L}{2}I{{}^2}\]

On constate alors que l’énergie stockée par un condensateur dépend de la tension sur lui, et l’énergie stockée dans un inducteur dépend de l’intensité qui le traverse.

Maintenant qu’on a utilisé les nombres complexes pour décrire un circuit électrique, revenons à l’oscillateur mécanique pour le cas où une force périodique lui est appliqué.

\[\frac{d{{}^2}x}{dt{{}^2}}+\frac{\gamma}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=\frac{F}{m}\cos(\omega t)\]

Admettons un instant que le régime de cet oscillateur, sans force appliquée, soit pseudo-périodique[eq:pseudo_periodique]. Nous recherchons donc une solution complexe de la forme :

\[x(t)=\underline{X}e^{j\omega t}\]

En effet, nous nous attendons à ce que la réponse soit une oscillation. Insérons maintenant cette solution dans l’équation différentielle:

\[-\omega{{}^2}\underline{X}e^{j\omega t}+j\omega\frac{\gamma}{m}\underline{X}e^{j\omega t}+\frac{k}{m}\underline{X}e^{j\omega t}=\frac{F}{m}e^{j\omega t}\]

\[-\omega{{}^2}\underline{X}+j\omega\frac{\gamma}{m}\underline{X}+\frac{k}{m}\underline{X}=\frac{F}{m}\]

\[\underline{X}=\frac{F}{k+j\omega\gamma-\frac{\omega{{}^2}}{m}}\]

Pour repasser en réel, on détermine le module de \(\underline{X}\):

\[|\underline{X}|=\frac{F}{m\sqrt{(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}){{}^2}+(\omega\frac{\gamma}{m}){{}^2}}}\]

Puis on détermine l’argument de \(\underline{X}\):

\[\varphi=\arctan\left(\frac{\omega\frac{\gamma}{m}}{\frac{k}{m}-\omega{{}^2}}\right)\]

La solution est alors simplement:

\[x(t)=\frac{F/m}{\sqrt{\left(\frac{k}{m}-\omega{}^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){}^{2}}}\cos\left(\omega t+\arctan\left(\frac{\gamma\frac{\omega}{m}}{\frac{k}{m}-\omega{}^{2}}\right)\right)\]

C’est le régime permanent, sur la durée, d’un oscillateur soumis à une force harmonique.

Avec la méthode des nombres complexes, la solution a été relativement simple à trouver. Ce n’est cependant pas la solution complète : le régime permanent ne décrit pas le comportement de l’oscillateur au tout début, particulièrement s’il est initialement compressé.

Ce que nous avons trouvé dans la section précédente est le régime permanent de l’oscillateur. Cela ne décrit pas le régime transitoire, lorsque la fréquence d’oscillation de l’oscillateur amorti est encore présente. Pour obtenir une expression qui décrive le régime complet, il va peut être falloir revenir à des méthodes de résolution plus classiques et complètes.

Nous connaissons déjà la solution de l’équation différentielle homogène en régime pseudo-périodique[eq:solution oscillateur pseudo-p=0000E9riodique]:

\[x=e^{-\zeta t}\left(A\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+B\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)\right)\]

Réécrivons-là en prenant \(\lambda=\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}\).

\[x=e^{-\zeta t}\left(A\cos(\lambda t)+B\sin(\lambda t)\right)\]

C’est le régime transitoire de l’oscillateur forcé - la partie qui nous manque. Nous recherchons maintenant la solution particulière de l’équation différentielle non-homogène:

\[\frac{d{{}^2}x}{dt{{}^2}}+\frac{\gamma}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=\frac{F}{m}\cos(\omega t)\]

La stratégie pour trouver la solution particulière est nommée “educated guess”, ou “essai intelligent”. On propose que la solution particulière soit de la forme suivante:

\[x=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)\]

Prenons un moment pour expliquer ce point - et justifier pourquoi on appelle cette stratégie un essai intelligent.

Lorsque nous avons utilisé la méthode des nombres complexes, nous avons obtenu une solution qui décrit le régime permanent de l’oscillateur. Il nous manquait la partie transitoire.

En reprenant la solution de l’équation non-homogène, on reprend en compte cette partie transitoire : une oscillation qui décroît et s’éteint avec le temps.

Il suffirait donc d’ajouter à cette solution la solution particulière. Et quelle forme aurait cette solution particulière? La même que le régime permanent.

La forme du régime permanent est:

\[x=\alpha\cos(\omega t+\beta)\]

Qui peut se réécrire :

\[x=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)\]

En insérant cette solution dans l’équation non-homogène, on devrait retrouver le régime permanent de notre oscillateur. Procédons:

\[x'=-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t)\]

\[x''=-C\omega{{}^2}\cos(\omega t)-D\omega{{}^2}\sin(\omega t)\]

Injectons tout cela dans l’équation non-homogène:

\[-C\omega{{}^2}\cos(\omega t)-D\omega{{}^2}\sin(\omega t)\]

\[+\frac{\gamma}{m}\left(-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t)\right)\]

\[+\frac{k}{m}\left(C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)\right)=\frac{F}{m}\cos(\omega t)\]

Rassemblons les termes en \(\cos(\omega t)\) et \(\sin(\omega t)\):

\[\left(C\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)+D\frac{\gamma\omega}{m}\right)\cos(\omega t)+\left(D\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)-C\frac{\gamma\omega}{m}\right)\sin(\omega t)=\frac{F}{m}\cos(\omega t)\]

Pour que cette expression fonctionne algébriquement, il faut que :

\[C\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)+D\frac{\gamma\omega}{m}=\frac{F}{m}\]

\[D\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)-C\frac{\gamma\omega}{m}=0\]

Avec ce système d’équation, on peut déduire les inconnues. On exprime \(D\) en fonction de \(C\):

\[D\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)=C\frac{\gamma\omega}{m}\]

\[D=C\frac{\gamma\omega}{m\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}\]

On intègre cela à la première équation :

\[C\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)+C\frac{\gamma\omega}{m\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}\frac{\gamma\omega}{m}=\frac{F}{m}\]

\[C=\frac{F}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)+\frac{\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}}{\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}\right)}\]

On a trouvé \(C\), mais j’espère qu’on peut simplifier cette écriture...

\[C=\frac{F\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\]

On peut enfin trouver \(D\):

\[D=\frac{F\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\frac{\gamma\omega}{m\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}\]

\[D=\frac{F\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\]

La solution particulière est donc:

\[x_{p}=\frac{F\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\cos(\omega t)\]

\[+\frac{F\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\sin(\omega t)\]

Il me semble qu’une identité trigonométrique qu’on a déjà utilisé serait utile ici. Ce qu’on souhaite, c’est passer de la forme suivante de la partie permanente...

\[x=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)\]

... à la forme suivante:

\[x=\sqrt{C{{}^2}+D{{}^2}}\cos\left(\omega t+\arctan\left(\frac{-D}{C}\right)\right)\]

Procédons en commençant par le premier terme:

\[\sqrt{C{{}^2}+D{{}^2}}=\sqrt{\left(\frac{F\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\right){{}^2}+\left(\frac{F\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\right){{}^2}}\]

\[\sqrt{C{{}^2}+D{{}^2}}=\frac{F}{m}\sqrt{\frac{\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}}{\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right){{}^2}}}\]

\[\sqrt{C{{}^2}+D{{}^2}}=\frac{F}{m}\frac{\sqrt{\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}}}{\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}}\]

\[\sqrt{C{{}^2}+D{{}^2}}=\frac{F/m}{\sqrt{\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}}}\]

Passons maintenant à l’argument - les plus observateurs devinent déjà où je veux en venir...

\[\frac{-D}{C}=\frac{-F\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right)}{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}\frac{m\left(\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right){{}^2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){{}^2}\right)}{F\left(\frac{k}{m}-\omega{{}^2}\right)}\]

\[\frac{D}{C}=\frac{-\gamma\frac{\omega}{m}}{\frac{k}{m}-\omega{{}^2}}\]

Cela nous permet enfin d’écrire la solution complète de l’équation différentielle:

\[x(t)=e^{-\zeta t}\left(A\cos(\lambda t)+B\sin(\lambda t)\right)+\frac{F/m}{\sqrt{\left(\frac{k}{m}-\omega{}^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){}^{2}}}\cos\left(\omega t-\arctan\left(\frac{\gamma\frac{\omega}{m}}{\frac{k}{m}-\omega{}^{2}}\right)\right)\]

Ce qui est intéressant ici, c’est que la partie permanente de cette expression est exactement ce que nous avions trouvé en utilisant les nombres complexes - ce qui était, il faut bien l’admettre, beaucoup plus simple. On en déduit une méthode de résolution pour ce type d’équation différentielle : trouver la solution de l’équation homogène en utilisant les stratégies classiques - c’est le régime transitoire; puis trouver la solution particulière en utilisant la méthode des nombres complexes - c’est le régime permanent.

De plus, on peut traiter les deux parties séparément quand on en vient à imposer les conditions initiales. Admettons que l’oscillateur soit compressé à \(t=0\):

\[x_{0}=A\]

Comme d’habitude, la seconde condition initiale est \(v(0)=0\).

\[x'(t)=-\zeta e^{-\zeta t}\left(x_{0}\cos(\lambda t)+B\sin(\lambda t)\right)+e^{-\zeta t}\left(-x_{0}\lambda\sin(\lambda t)+B\lambda\cos(\lambda t)\right)\]

\[0=-\zeta x_{0}+B\lambda\]

\[B=\frac{\zeta x_{0}}{\lambda}\]

Réintégrant à la solution complète:

\[x(t)=x_{0}e^{-\zeta t}\left(\cos(\lambda t)+\frac{\zeta}{\lambda}\sin(\lambda t)\right)+\frac{F/m}{\sqrt{\left(\frac{k}{m}-\omega{}^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){}^{2}}}\cos\left(\omega t+\arctan\left(\frac{\gamma\frac{\omega}{m}}{\frac{k}{m}-\omega{}^{2}}\right)\right)\label{Oscillateur r=0000E9gime forc=0000E9}\]

On voit que le ressort, compressé à \(t=0\) à \(x_{0},\)décroît rapidement à cause de l’amortissement, et que la force, d’une vitesse angulaire différente, prend le dessus. Les conditions initiales (ressort compressé) sont indépendantes de la force harmonique appliquée. Si, en revanche, les conditions initiales étaient celles de l’oscillateur au repos (non compressé), alors seule la partie permanente serait présente.

En cas d’absence d’amortissement, la fonction devient:

\[x(t)=x_{0}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+\frac{F/m}{\frac{k}{m}-\omega{}^{2}}\cos\left(\omega t\right)\]

On note que lorsque la fréquence de la force est proche de la fréquence naturelle de l’oscillateur, l’amplitude devient significativement plus grande.

Attardons-nous un moment sur l’amplitude du régime permanent, et voyons ce que l’évolution de la fréquence induit.

\[A(\omega)=\frac{F/m}{\sqrt{\left(\frac{k}{m}-\omega{}^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma\omega}{m}\right){}^{2}}}\label{Amplitude r=0000E9gime forc=0000E9}\]

On note que l’amplitude atteint un maximum lorsque la fréquence de la force \(\omega\) est proche de la fréquence naturelle de l’oscillateur \(\lambda\). On peut donc s’attendre à une augmentation de l’amplitude des oscillations, comme on l’a noté avec l’oscillateur forcé non-amorti.

En fait, enlevant toute oscillation initiale et ne gardant que la force, puis approchant sa vitesse angulaire de celle de l’oscillateur :

L’amplitude augmente dramatiquement.

La résonance est donc le phénomène par lequel en approchant la fréquence naturelle de l’oscillateur \(\lambda\), on obtient des oscillations de plus en plus fortes. Jusqu’à, possiblement, la rupture.

Un circuit RLC en continu est un circuit composé d’une source continue, d’une résistance, d’un inducteur et d’un condensateur. Prenons le temps de lister les tensions pour chacun des composants:

Pour une résistance, la tension est donnée simplement par la loi d’Ohm:

\[U_{R}=RI\]

Pour un inducteur, elle dépend de l’inductance et de l’évolution du courant;

\[U_{L}=L\frac{dI}{dt}\]

Pour un condensateur, elle dépend de sa capacitance et de la charge qu’il contient:

\[U_{C}=\frac{q}{C}\]

Appliquant la loi des mailles à ce circuit, on obtient une équation différentielle:

\[Lq''+Rq'+\frac{1}{C}q=U\]

Notons que j’utilisé, pour écrire cette équation, la définition de l’intensité électrique:

\[I=\frac{dq}{dt}\]

Résolvons la forme homogène en prenant son équation caractéristique:

\[Lr{{}^2}+Rr+\frac{1}{C}=0\]

\[r=\frac{-R}{2L}\pm\frac{\sqrt{R{{}^2}-4L/C}}{2L}\]

\[r=\frac{-R}{2L}\pm\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right){{}^2}-\frac{1}{LC}}\]

Posons les constantes \(\zeta=\frac{R}{2L}\) et \(\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\):

\[R=-\zeta\pm\sqrt{\zeta{{}^2}-\omega_{0}{{}^2}}\]

On a déjà vu cela quelque part: l’oscillateur avec amortissement. Et mathématiquement, c’est exactement la même chose. L’énergie était tantôt stockée dans le ressort, tantôt dans la gravité; ici, elle est tantôt stockée dans l’inducteur, tantôt dans le condensateur. Tout est pareil, si ce n’est pour la forme de l’énergie considérée.

Admettons tout de suite que \(\omega_{0}>\zeta\) - on réservera les autres cas pour une autre occasion.

\[R=-\zeta\pm j\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}\]

La solution de l’équation différentielle homogène est donc:

\[q=e^{-\zeta t}(A\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+B\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t))\]

L’équation non-homogène est égale une constante \(U\). Cela signifie que, pour la solution particulière - le régime permanent, après un certain temps - la charge ne varie plus. Les dérivées \(q''(t)\) et \(q'(t)\) sont alors égales à zéro.

\[\frac{q_{p}}{C}=U\]

\[q_{p}=CU\]

La solution complète est alors:

\[q(t)=e^{-\zeta t}(A\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+B\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t))+CU\]

Substituons encore une nouvelle constante:

\[\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}\]

\[q(t)=e^{-\zeta t}(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t))+CU\]

Nos conditions initiales sont que \(q(0)=0\) et \(q'(0)=0\) : le circuit n’est parcouru par aucun courant à \(t=0\) et il n’y a pas de charge sur le condensateur.

On prend donc la dérivée - et trouve en même temps l’expression pour l’intensité:

\[i(t)=-\zeta e^{-\zeta t}(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t))+e^{-\zeta t}(B\omega_{d}\cos(\omega_{d}t)-A\omega_{d}\sin(\omega_{d}t))\]

On applique les conditions initiales:

\[0=A+CU\]

\[A=-CU\]

\[0=\zeta CU+B\omega_{d}\]

\[B=\frac{-\zeta CU}{\omega_{d}}\]

On obtient enfin la solution complète - nous la prendrons directement dans la fonction pour l’intensité. Regroupons d’abord les sinus et cosinus:

\[i(t)=-\zeta e^{-\zeta t}A\cos(\omega_{d}t)+e^{-\zeta t}B\omega_{d}\cos(\omega_{d}t)-\zeta e^{-\zeta t}B\sin(\omega_{d}t)-e^{-\zeta t}A\omega_{d}\sin(\omega_{d}t)\]

\[i(t)=e^{-\zeta t}(\cos(\omega_{d}t)(B\omega_{d}-\zeta A)-\sin(\omega_{d}t)(\zeta B+A\omega_{d}))\]

Substituons:

\[i(t)=e^{-\zeta t}(\cos(\omega_{d}t)(-\zeta CU+\zeta CU)+\sin(\omega_{d}t)(\frac{\zeta{{}^2}CU}{\omega_{d}}+CU\omega_{d}))\]

\[i(t)=e^{-\zeta t}\sin(\omega_{d}t)(\frac{\zeta{{}^2}CU}{\omega_{d}}+CU\omega_{d})\]

\[i(t)=e^{-\zeta t}CU(\omega_{d}+\frac{\zeta{{}^2}}{\omega_{d}})\sin(\omega_{d}t)\]

Substituons à nouveau les constantes \(\zeta\) et \(\omega_{d}\):

\[i(t)=e^{-\zeta t}CU(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}+\frac{\zeta{{}^2}}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}})\sin(\omega_{d}t)\]

\[i(t)=e^{-\zeta t}CU(\frac{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}+\zeta{{}^2}}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}})\sin(\omega_{d}t)\]

\[i(t)=e^{-\zeta t}CU(\frac{\omega_{0}{{}^2}}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}})\sin(\omega_{d}t)\]

Reste à déterminer les tensions sur le condensateur et sur l’inducteur. Nous avions vu que \(U_{C}=\frac{q}{C}\). Ce qui signifie que nous devons récupérer l’expression pour la charge...

\[q(t)=e^{-\zeta t}(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t))+CU\]

... et substituer...

\[q(t)=e^{-\zeta t}CU(-\cos(\omega_{d}t)-\frac{\zeta}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t))+CU\]

... et substituer et factoriser :

\[q(t)=CU(1-e^{-\zeta t}(\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)))\]

Divisons le tout par \(C\) pour obtenir la tension sur le condensateur:

\[U_{C}(t)=U(1-e^{-\zeta t}(\cos(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)+\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\sin(\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}t)))\]

Pour ce qui est de l’inducteur, on sait que \(U_{L}=L\frac{dI}{dt}\).

\[i'(t)=-\zeta e^{-\zeta t}CU(\frac{\omega_{0}{{}^2}}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}})\sin(\omega_{d}t)+e^{-\zeta t}CU\omega_{0}{{}^2}\cos(\omega_{d}t)\]

\[i'(t)=e^{-\zeta t}CU\omega_{0}{{}^2}(\cos(\omega_{d}t)-\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\sin(\omega_{d}t))\]

\[U_{L}(t)=e^{-\zeta t}UCL\omega_{0}{{}^2}(\cos(\omega_{d}t)-\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\sin(\omega_{d}t))\]

Et comme \(\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\):

\[U_{L}(t)=e^{-\zeta t}U(\cos(\omega_{d}t)-\frac{\zeta}{\sqrt{\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}}}\sin(\omega_{d}t))\]

Lorsque la source est connectée, le courant augmente rapidement, donc la tension sur l’inducteur commence d’un maximum. Au fur et à mesure que le condensateur se charge, le courant diminue, ainsi que la tension sur le condensateur. Le système oscille un moment entre positif et négatif, et la tension sur le condensateur dépasse un maximum avant de revenir à sa tension de charge.

Dans l’état, le condensateur est chargé, et il le restera tant qu’on ne le connecte pas à une nouvelle résistance.

Comme on l’a vu dans la section précédente, un circuit RLC en charge se comporte comme un ressort recevant une masse : de l’énergie est transférée de l’inducteur au condensateur. Si on ouvre le circuit après la charge, le condensateur conserve cette énergie.

Supposons maintenant que nous connections le circuit à une nouvelle résistance. Nous sommes maintenant en présence d’un circuit RLC sans source. La solution de l’équation différentielle homogène est la même :

\[q=e^{-\zeta t}(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t))\]

Ce sont les conditions initiales qui changent: il y a une charge initiale dans le condensateur.

\[q(0)=q_{0}\]

\[q'(0)=0\]

On applique donc ces conditions initiales:

\[q_{0}=A\]

\[q'(0)=-\zeta q_{0}+B\omega_{d}t\]

\[B=\frac{\zeta q_{0}}{\omega_{d}}\]

La solution de l’équation différentielle avec les conditions initiales est donc:

\[q=q_{0}e^{-\zeta t}(\cos(\omega_{d}t)+\frac{\zeta}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t))\]

On en déduit l’intensité dans le circuit, et les tensions sur l’inducteur et le condensateur.

\[i(t)=-q_{0}\zeta e^{-\zeta t}(\cos(\omega_{d}t)+\frac{\zeta}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t))+q_{0}e^{-\zeta t}(-\omega_{d}\sin(\omega_{d}t)+\zeta\cos(\omega_{d}t))\]

\[i(t)=-q_{0}\zeta e^{-\zeta t}\cos(\omega_{d}t)-\frac{q_{0}\zeta{{}^2}e^{-\zeta t}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)-q_{0}e^{-\zeta t}\omega_{d}\sin(\omega_{d}t)+q_{0}\zeta e^{-\zeta t}\cos(\omega_{d}t))\]

\[i(t)=-\frac{q_{0}\zeta{{}^2}e^{-\zeta t}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)-q_{0}e^{-\zeta t}\omega_{d}\sin(\omega_{d}t)\]

\[i(t)=-q_{0}e^{-\zeta t}\sin(\omega_{d}t)(\frac{\zeta{{}^2}}{\omega_{d}}+\omega_{d})\]

\[i(t)=-\frac{q_{0}}{\omega_{d}}e^{-\zeta t}\sin(\omega_{d}t)(\zeta{{}^2}+\omega_{d}{{}^2})\]

Et comme, initialement, \(U_{C}=\frac{q_{0}}{C}\) et \(U_{C}=U\):

\[i(t)=-\frac{UC}{\omega_{d}}e^{-\zeta t}(\zeta{{}^2}+\omega_{d}{{}^2})\sin(\omega_{d}t)\]

On note que l’intensité en décharge est négative. Cela signifie qu’elle est maintenant dans le sens opposé de l’intensité en charge.

La tension sur le condensateur est simplement le ratio de la charge \(q(t)\) avec la capacitance - et nous avons vu que \(U=\frac{q_{0}}{C}\):

\[U_{C}(t)=Ue^{-\zeta t}(\cos(\omega_{d}t)+\frac{\zeta}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t))\]

C’était assez simple pour le condensateur, ça le sera un peu moins pour l’inducteur :

\[U_{L}(t)=L\frac{dI}{dt}\]

Il faut prendre la dérivée de l’intensité...

\[U_{L}(t)=L(\frac{UC}{\omega_{d}}\zeta e^{-\zeta t}(\zeta{{}^2}+\omega_{d}{{}^2})\sin(\omega_{d}t)-\frac{UC}{\omega_{d}}e^{-\zeta t}(\zeta{{}^2}+\omega_{d}{{}^2})\omega_{d}\cos(\omega_{d}t)\]

Factoriser...

\[U_{L}(t)=\frac{UCL}{\omega_{d}}e^{-\zeta t}(\zeta{{}^2}+\omega_{d}{{}^2})(\zeta\sin(\omega_{d}t)-\omega_{d}\cos(\omega_{d}t))\]

Comme \(\omega_{d}{{}^2}=\omega_{0}{{}^2}-\zeta{{}^2}\), d’autres termes s’annulent.

\[U_{L}(t)=\frac{UCL}{\omega_{d}}\omega_{0}{{}^2}e^{-\zeta t}(\zeta\sin(\omega_{d}t)-\omega_{d}\cos(\omega_{d}t))\]

Et comme \(\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), d’autres termes s’annulent enfin.

\[U_{L}(t)=\frac{U}{\omega_{d}}e^{-\zeta t}(\zeta\sin(\omega_{d}t)-\omega_{d}\cos(\omega_{d}t))\]

On note qu’en effet, le courant est initialement négatif. La tension étant maximale sur le condensateur au début, elle est maximale et négative sur l’inducteur. Le système oscille ensuite entre positif et négatif - s’il n’y avait pas de résistance, il oscillerait librement.