Intensité sonore et niveau de bruit - introduction
Le son est une onde de pression se déplaçant dans un médium. Dans le cadre de ce cours, on s’intéressera principalement au déplacement du son dans l’air. Partant de principes physiques fondamentaux (puissance, intensité), on déterminera les relations entre intensité et niveau de bruit, et niveau de bruit et distance. On obtiendra alors les outils nécessaires pour résoudre liées au niveau de bruit:
L’intensité est une puissance par mètre carré. C’est donc de l’énergie distribuée sur une surface. Cette énergie peut être transmise et absorbée en même temps par un medium. Dans le cas du son, nous choisirons l’air comme medium.
Une onde sonore dans l’air est une vague de pression, faisant osciller les molécules entre des zones de pression et de raréfaction. La valeur efficace de l’amplitude de ces vagues est notée \(p_{eff}\), et son unité est le pascal \(Pa\), ce qui se développe en newtons par mètre carré - donc des kilogrammes par mètre-seconde carré.
On peut essayer d’effectuer une analyse dimensionnelle de la pression et de l’intensité pour deviner la définition physique de l’intensité.
Le produit de la pression avec un volume donne le travail, en joules\(J\):
On en déduit l’expression pour l’intensité sonore:
\[I=\frac{p_{eff}{{}^2}}{\rho c}\]
Dans notre contexte, la masse volumique est celle de l’air (\(\rho=1,2kg.m^{-3}\)) et la vitesse celle du son (\(c=343m.s^{-1}\)).
Le seuil de l’audition - la pression minimale en dessous de laquelle un son est inaudible - est de \(20\mu Pa\) à 1 kHz. On en déduit l’intensité minimale:
Prenons un pas de côté pour parler de la perception des sons par l’oreille humaine, simplement pour dire une chose : elle est logarithmique.
Cela signifie qu’un doublement de l’intensité d’un son n’est pas perçu comme un son deux fois plus fort. En fait, la différence en niveau de bruit est à peine perceptible.
Par ailleurs, le seuil de douleur de l’oreille humaine est à une intensité \(I=1W\cdot m^{-2}\). C’est une gamme d’intensités entre ces deux extrêmes de\(10^{12}.\)
Une échelle logarithmique permet de contenir dans une gamme de valeurs restreintes - de 0 à 120 dB environ - tous les niveaux de bruits auxquels on peut être confronté.
Mais ce n’est pas la seule bizarrerie de l’oreille humaine. Ce que l’on perçoit comme une octave - une note et la même note plus aiguë - est en fait un doublement de la fréquence d’un son. De plus, les notes qui donnent des sons mélodieux à l’oreille humaine sont des multiples d’un douzième de l’écart d’une octave. En fait, on définit la fréquence des notes \(n\) par la fonction:
\[f(n)=f_{0}2^{\frac{n}{12}}\]
C’est donc une croissance exponentielle - la réciproque du logarithme.
Il y aurait certainement plus à dire sur la musicologie et la perception auditive, mais ce sera l’objet d’autres expériences...
Échelle décibel
L’échelle décibel, ou niveau de bruit \(L\) est logarithmique : une multiplication de l’intensité par un facteur correspond à une addition constante sur l’échelle (en dB). Par exemple, multiplier l’intensité par 10 revient à ajouter 10 dB. Dans le cas de l’échelle décibel, la base du logarithme est 10:
\[L=10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\]
Par exemple, si l’intensité est égale à celle du seuil d’audition:
\[L=10\log(1)=0\]
Si on multiplie l’intensité par 2:
\[L=10\log(2)\approx3\]
Une augmentation tout juste perceptible, comme on l’a dit. Et si on multiplie l’intensité par 10:
\[L=10\log(10)=10\]
Le son a augmenté de 10 décibels.
Certaines valeurs de l’échelle décibel correspondent à des situations connues. Une conversation normale tourne autour de 60 dB, tandis qu’une rue animée ou une salle de classe bavarde va jusqu’à 75 dB. Le seuil de gène est à 85 dB, un marteau piqueur à un mètre est à 100 dB, un avion à réaction à la même distance est à 130 dB, dix fois plus intense que le seuil de douleur qui lui est à 120 dB.
Il est à noter que ces mesures sont typiquement faites à un mètre. C’est pourquoi certaines valeurs sont des estimations, comme celle de l’explosion d’une bombe atomique (230 dB), qu’il est évidemment impossible de mesurer. Il faut noter aussi que le seuil d’audibilité est pour un son de 1000 Hz, ce seuil varie en fonction de la fréquence du son. Et cette variation dépend elle-même des personnes, de leur âge et de leur condition physique.
Courbe d’audibilité
On note que l’oreille humaine est la plus adaptée à entendre des sons médiums à aigus (voix), mais qu’elle entend mal les basses et les aigus. Ainsi, si 10 dB suffisent pour entendre une voix, il faudra environ 30 dB pour entendre un son à 220 Hz (La grave) ou à 15000 Hz (suraigus).
On peut retrouver l’intensité à partir du niveau de bruit en résolvant la formule pour \(I\):
\[I=I_{0}10^{\frac{L}{10}}\]
Ainsi, on peut déterminer le niveau de bruit \(L_{T}\) de deux sons combinés:
L’intensité est une puissance distribuée sur une surface et, à chaque mètre qu’elle parcourt, cette surface croît. L’énergie est distribuée sur une surface de plus en plus large, donc l’intensité diminue avec la distance.
Reprenons la définition de l’intensité en fonction de puissance et de surface.
\[I=\frac{P}{S}\]
Pour une source ponctuelle d’intensité, la surface est une sphère de rayon \(r\).
\[I=\frac{P}{4\pi r{{}^2}}\]
Prenons un son d’intensité \(I_{1}\) à un mètre, puis le même son, de même puissance \(P\) mais d’intensité \(I_{2}\) à \(r\) mètres.
\[I_{1}=\frac{P}{4\pi}\]
\[I_{2}=\frac{P}{4\pi r{{}^2}}\]
La variation d’intensité \(\frac{I_{2}}{I_{1}}\) est donc:
\[\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{P}{P}r{{}^2}\]
Appliquant la définition du changement relatif de bruit - le décibel - on obtient le changement de niveau de bruit:
\[\Delta L=10\log(r{{}^2})\]
\[\Delta L=20\log(r)\]
Le niveau de bruit à une distance \(r\) est donc:
\[L(r)=L_{0}-20\log(r)\]
Mais la distance n’est pas le seul facteur affectant le son. L’intensité dépend aussi du fluide qu’elle traverse, de l’atténuation par mètre qu’elle subit à cause de son taux d’humidité, de sa température, etc, en plus de l’atténuation géométrique déjà mentionnée.
On le démontrera par ailleurs, mais cette évolution de l’intensité en fonction de la distance est donnée par:
\[I(r)=Ie^{-2\alpha r}\]
La constante \(\alpha\) est un coefficient d’atténuation par mètre (\(m^{-1}\)) qui dépend, en plus des paramètres de température, humidité,etc, de la fréquence du son. On prend \(I\) comme intensité initiale à un mètre, pour ne pas le confondre avec le seuil d’audibilité \(I_{0}\).
Pour obtenir le niveau de bruit en fonction de la distance parcourue au travers d’un fluide, on applique la définition du changement relatif de bruit:
L’atténuation du niveau sonore due à l’air est donc linéaire avec la distance de la source.
Une approximation basée sur des mesures empiriques de \(\alpha_{dB}\) permet de déterminer quelles fréquences dans le spectre audible sont affectées par l’atténuation due à l’air à STP:
\[\alpha_{dB}=1,164\times10^{-4}f{{}^2}\]
On peut enfin combiner cette atténuation due à la distance parcourue par le son avec l’atténuation géométrique:
\[L(r)=L_{0}-20\log(r)-\alpha_{dB}r\]
En appliquant ces paramètres à un son de 70 dB à différentes fréquences, on observe que les fréquences basses sont celle qui sont audibles le plus loin, tandis que les fréquences hautes sont les premières à disparaître.
