Pas-à-pas : résoudre une équation du second degré

La résolution (trouver l'inconnue) d'une équation du second degré suit une procédure simple, mais qui nécessite de faire attention.

Identifier une équation du second degré

Une équation du second degré consiste en la somme d'une constante multipliée par la variable au carré, une autre constante multipliée par la variable, et une troisième constante. Le tout est égal à zéro.

\(ax^2+bx+c=0\)

Réorganiser une équation

Parfois, la première étape est d'organiser l'équation pour qu'elle ressemble à une équation du second degré.

\(\begin{array}\l ax^2+bx=-c\\ ax^2+bx+c=0\end{array}\)

Identifier les constantes

Avec l'équation dans la bonne forme, l'étape suivante nécessite d'identifier les constantes.

\(\textcolor{red}{a}x^2+\textcolor{blue}{b}x+\textcolor{green}{c}=0\)

Calculer le déterminant

Avec ces constantes, calculer le déterminant.

\(\Delta = b^2-4ac\)

Déterminant négatif

Si le déterminant est négatif, l'équation n'a pas de solution réelle. A moins de chercher un nombre imaginaire, le problème s'arrête là.

\(\text{Si }\Delta<0\text{, stop.}\)

Formule quadratique

Si le déterminant est positif, on applique la formule quadratique ci-dessous. On procède à deux calculs pour trouver les deux solutions:

\(\begin{array}\l x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \text{ et }x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}\)

Exemple à suivre 1

Prenons par exemple la fonction décrivant la trajectoire d'un projectile, avec l'image à zéro.

\(3,5x-0,1x^2+5=0\)

Exemple à suivre 2

On identifie les constantes. Attention à bien inclure les signes négatifs s'il y en a.

\(\begin{array}\l \textcolor{blue}{3,5}x\textcolor{red}{-0,1}x^2+\textcolor{green}{5}=0\\ a=-0,1\text{, }b=3,5\text{ et }c=5\end{array}\)

Exemple à suivre 3

On calcule le déterminant - il est positif, l'équation a donc bien au moins une solution.

\(\Delta = (-3,5)^2-4(-0,1)(5)=14,25\)

Exemple à suivre 4

On calcule donc les solutions à l'aide de la formule quadratique. Bon boulot !

\(x=\frac{-(3,5)\pm\sqrt{14,25}}{2(-0,1)}=36,4\text{ ou }-1,4\)