Pas-à-pas : résoudre une équation simple.

Une équation est une phrase mathématique qui dit que ce qui est à gauche du signe égal est égal à ce qui est à droite. Résoudre l'équation signifie trouver l'inconnue à partir de cette propriété.

Equation simple

La forme de l'équation simple consiste en la variable apparaissant une fois, et plusieurs constantes.

\(y= ax^n+b\)

L'exposant sur la variable

L'exposant est le nombre de fois qu'on multiplie un par la variable. Pour certaines opérations et pour faire sens de l'algorithme, il est utile d'en réécrire certains (racine, inverse, etc.).

\( \begin{array}\ x^2\text{, }x^3\text{...}\\ \sqrt{x}=x^{1/2}\\ \sqrt[n]{x}=x^{1/n}\\ \frac{1}{x^n}=x^{-n} \end{array}\)

Réciproque d'un exposant

La réciproque d'un exposant est l'inverse de l'exposant...

\(x^n\rightarrow x^{1/n}\)

Réciproque

... et la réciproque d'une opération est l'opération qui inverse son effet.

\( \begin{array}\ x\pm a\rightarrow x\pm a\textcolor{red}{\mp a}\\ ax \rightarrow \frac{ax}{\textcolor{red}{a}}\\ x^n\rightarrow (x^n)^{\textcolor{red}{1/n}}\end{array}\)

Etape 0 : réécrire l'équation

Il est parfois nécessaire de réécrire l'équation pour que sa forme s'adapte au modèle de l'algorithme de résolution.

\( \begin{array}\ y=a\sqrt{x}+b\rightarrow y=ax^{1/2}+b\\ y=\frac{a}{x}+b\rightarrow y=ax^{-1}+b\end{array}\)

Identifier les constantes

La première étape est d'identifier les constantes à déplacer de l'autre côté du signe égal.

\(y=\textcolor{red}{a}x^{\textcolor{blue}{n}}\pm \textcolor{green}{b}\)

Additions et soustractions

Première étape : prendre la réciproque des constantes qui s'ajoutent ou se soustraient. Faire la même chose de l'autre côté du signe égal.

\(\begin{array}\ y\textcolor{red}{-b}=ax^n+b\textcolor{red}-b\\ y-b=ax^n\end{array}\)

Multiplications et divisions

Seconde étape : prendre la réciproque des constantes qui multiplient ou divisent la variable. Faire la même chose de l'autre côté du signe égal.

\(\begin{array}\ \frac{y-b}{\textcolor{red}{a}}=\frac{a x^n}{\textcolor{red}{a}}\\ \frac{y-b}{a}=x^n\end{array}\)

Exposant

Enfin, prendre la réciproque de l'exposant. Aux deux côtés du signe égal.

\(\begin{array}\ (\frac{y-b}{a})^\textcolor{red}{1/n}=(x^n)^\textcolor{red}{1/n}\\ (\frac{y-b}{a})^{1/n}=x\end{array}\)

Vérification

Au début au moins, prendre le temps de vérifier le résultat en l'insérant dans l'équation originale.

\(y=a\textcolor{red}{x}^n+b\)

Exemple à suivre 1

On veut résoudre l'équation suivante. Tout d'abord, on la réécrit de manière à voir l'exposant sur la variable.

\(\begin{array}\ 3\sqrt{x}+5=20\\ 3x^{1/2}+5=20\end{array}\)

Additions et soustractions

On s'occupe d'abord des termes qui s'ajoutent ou se soustraient...

\(\begin{array}\ 3x^{1/2}+5\textcolor{red}{-5}=20\textcolor{red}{-5}\\ 3x^{1/2}=15\end{array}\)

Multiplications et divisions

... puis des termes qui multiplient ou divisent la variable...

\(\begin{array}\ \frac{3x^{1/2}}{\textcolor{red}{3}}=\frac{15}{\textcolor{red}{3}}\\ x^{1/2}=5\end{array}\)

Exposant

... et enfin, on s'occupe de l'exposant.

\(\begin{array}\ (x^{1/2})^{\textcolor{red}{2/1}}=(5)^{\textcolor{red}{2/1}}\\ x=25\end{array}\)

Exemple à suivre 2

Un exemple un peu plus complexe, peut-être ? Pas si on la réécrit...

\(\begin{array}\ \frac{3}{2x^2}-7=14\\ \frac{3}{2}x^{-2}-7=14\end{array}\)

Addition et soustraction

On sait quoi faire ensuite...

\(\frac{3}{2}x^{-2}=14+7\)

Multiplication et division

... et quoi faire ensuite...

\(x^{-2}=\frac{2}{3}\times 21\)

Exposant

... et quoi faire enfin. Bon boulot !

\(x=14^{-1/2}\approx 0,267\)

Vérification

Ne pas oublier de vérifier !

\(\begin{array}\ 3\sqrt{25}+5=3\times 5+5=15+5=20\\ \frac{3}{2\times 0,267^2}-7=\frac{3}{0,143} -7\approx 21-7\approx 14\end{array}\)