Supposons que nous lancions deux dés à six faces. Nous avons vu que l’univers d’un dé à six faces vaut 6. Quelle est la taille de l’univers de cette nouvelle expérience ?

On peut compter le nombre d’événements possibles :

1 – 1

1 – 4

2 – 1

2 – 4

3 – 1

3 – 4

4 – 1

4 – 4

5 – 1

5 – 4

6 – 1

6 – 4

1 – 2

1 – 5

2 – 2

2 – 5

3 – 2

3 – 5

4 – 2

4 – 5

5 – 2

5 – 5

6 – 2

6 – 5

1 – 3

1 – 6

2 – 3

2 – 6

3 – 3

3 – 6

4 – 3

4 – 6

5 – 3

5 – 6

6 – 3

6 – 6

Donc, il y a 36 événements possibles. On dit alors que l’univers contient 36 événements.

Quelle est la probabilité de tirer deux 6 ? En probabilités, on écrit cette question sous la forme suivante :

Le symbole ∩ veut dire « intersection ». C’est en effet représenté par l’intersection de deux cercles dans un diagramme de Venn.

En utilisant notre tableau, on voit qu’il y a une chance sur 36 de tirer deux 6. La probabilité de tirer deux 6 dans un jeu à deux dés est donc de 0,03, ou 3 %.

1 – 1

1 – 4

2 – 1

2 – 4

3 – 1

3 – 4

4 – 1

4 – 4

5 – 1

5 – 4

6 – 1

6 – 4

1 – 2

1 – 5

2 – 2

2 – 5

3 – 2

3 – 5

4 – 2

4 – 5

5 – 2

5 – 5

6 – 2

6 – 5

1 – 3

1 – 6

2 – 3

2 – 6

3 – 3

3 – 6

4 – 3

4 – 6

5 – 3

5 – 6

6 – 3

6 – 6

On peut déduire de cet exemple que la probabilité de n événements compatibles est le produit de leurs probabilités respectives. Dans notre exemple :

L’univers d’une telle expérience est donné comme le produit de tous les univers. Ici, chaque dé a un univers de taille 6. L’univers total d’un lancé de deux dés est donc de 36.

En langage mathématique :

Si on est intéressé par le nombre de fois que n’importe quelle paire sort d’un lancé de deux dé, on compte le nombre d’événements correspondants.

1 – 1

1 – 4

2 – 1

2 – 4

3 – 1

3 – 4

4 – 1

4 – 4

5 – 1

5 – 4

6 – 1

6 – 4

1 – 2

1 – 5

2 – 2

2 – 5

3 – 2

3 – 5

4 – 2

4 – 5

5 – 2

5 – 5

6 – 2

6 – 5

1 – 3

1 – 6

2 – 3

2 – 6

3 – 3

3 – 6

4 – 3

4 – 6

5 – 3

5 – 6

6 – 3

6 – 6

On a maintenant six événements incompatibles possibles dans un univers de 36 événements.

Clairement, la probabilité de plusieurs événements incompatibles est simplement la somme de leurs probabilités :

Supposons maintenant que nous changions les règles du jeu de dés : ce n’est plus les nombres qui sont tirés qui comptent, mais leur somme.

Il y a onze possibilités : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.

On peut organiser un tableau pour voir le nombre de fois que chaque somme peut apparaître dans les données.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 + 1

1 + 2

1 + 3

1 + 4

1 + 5

1 + 6

2 + 6

3 + 6

4 + 6

5 + 6

6 + 6

2 + 1

3 + 1

4 + 1

5 + 1

6 + 1

6 + 2

6 + 3

6 + 4

6 + 5

2 + 2

2 + 3

2 + 4

2 + 5

3 + 5

4 + 5

5 + 5

3 + 2

4 + 2

5 + 2

5 + 3

5 + 4

3 + 3

3 + 4

4 + 4

4 + 3

Clairement, la somme des dés la plus fréquente est le 7. On compte le nombre d’événements qui correspond à cette somme : 6. Le nombre total d’événements – l’univers de cette expérience – est toujours de 36.

La probabilité d’obtenir une somme de 7 dans un lancé de deux dés est donc :

Nous décidons de vérifier cette prédiction en effectuant 3000 lancés de dés. Les résultats sont regroupés dans l’histogramme ci-dessous.

Le mode de cette distribution statistique est clairement sur le 7. Pour en être sûr, nous calculons la moyenne des sommes qui sortent dans ce jeu en multipliant chaque somme par son effectif n, faisant la somme des résultats et divisant par l’effectif total N.

Le résultat est 7,03, que l’on peut arrondir à 7. Voici une prédiction confirmée par les statistiques.

On mesure que l’événement « tirer une somme de 7 » survient 492 fois lors de 3000 lancés de dés. On calcule donc à nouveau la probabilité :

Cette probabilité statistique n’est pas exactement en accord avec la probabilité que nous avions calculé précédemment, mais en est très proche. Cela soulève un point qu’il va nous falloir aborder : la fréquence en probabilités et la marge d’erreur en statistiques.