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Résoudre des problèmes avec des fonctions

Procédure de résolution de problèmes

On l’a dit plusieurs fois ; une fonction est comme un ensemble d’équations avec deux inconnues x et y – on a simplement remplacé y par f(x). Si un problème est modélisé avec une fonction, on peut donc utiliser les mêmes outils qu’on a utilisé pour résoudre des équations.

La première étape est de bien comprendre ce que représentent chaque parties de la fonction qui modélise le problème. Il est souvent utile, voire nécessaire, de faire une liste détaillée de chaque partie de la fonction en se basant sur l’énoncé du problème.

Ensuite, on remplace dans la fonction la variable ou l’image par la valeur donnée dans l’énoncé.

Si nécessaire, on résout l’équation pour l’inconnue.

Enfin, on calcule et on rapporte le résultat.

Exemple de problème

Dans l’exemple suivant, on doit calculer deux quantités. Nous allons appliquer notre procédure pour clarifier ce qu’on doit faire, et vérifier nos résultats par la méthode graphique.

Une voiture est à une position x₀ = 100. A un moment t = 0, elle accélère à 3 m/s². Trouver la position de la voiture après 5 secondes, et calculer le temps qu’elle prendra pour arriver à x = 200 m.

On donne la fonction suivante:

position fonction d

x(t) = \frac{a}{2}t^2 + x_0

On devine du contexte de l’exercice que :

  1. x(t) correspond à la position

  2. t correspond au temps

  3. a correspond à l’accélération : 3 m/s²

  4. x₀ correspond à la position initiale (la position de départ) : 100 m

On écrit donc la fonction :

Fonction position

x(t) = 1,5 t^2 + 100

La première question nous demande de trouver une position à un certain temps. Sachant qu’on est parti de t = 0, on a juste à remplacer t par la valeur donnée : 5 s.

Prob 1

x(5) = 1,5(5)^2 + 100 \\ x(5)= 137,5 m

La deuxième question nous demande de trouver un temps correspondant à une position. On remplace donc x(t) par la valeur donnée : 200 m, et on résout.

Prob 2

200 = 1,5 t^2 + 100\\ t^2 = \frac{200 - 100}{1,5}\\ t = \sqrt{\frac{200 - 100}{1,5}}\\ t = 8,2 s

On notera au passage que l'inverse d'un carré est une racine carrée.

On peut enfin reporter les résultats de nos calculs : la voiture atteindra la position x = 137,5 m après 5 secondes, et atteindra la position x = 200 m après 8,2 s.

Graphique position tempsEn complétant un tableau de valeurs à l’aide d’une feuille de calcul, on peut confirmer graphiquement nos résultats :

  1. L’image de t = 5 est égale à un peu moins de 140

  2. L’antécédent de 200 est égal à un peu plus de 8