Trouver une fonction à partir de données

Dans un graphique ou dans un énoncé, il arrive qu’on puisse identifier les coordonnées de deux points. A partir de ces coordonnées, on peut déterminer le coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b en suivant l’algorithme suivant :

Algorithme	Exemple
Organiser les coordonnées par ordre croissant de x	(2 ; 13) (4 ; 19)
Calculer le changement en f(x) – le deuxième moins le premier	19 - 13 = 6
Calculer le changement en x – le deuxième moins le premier	4-2 = 2
Diviser le changement en f(x) par le changement en x. C’est le coefficient directeur a de notre fonction affine.	a = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\\ a = \frac{6}{2} = 3
Dans f(x) = ax + b, remplacer f(x) et x par les coordonnées d'un des deux points, et a par la valeur que vous avez trouvé. Dans l'exemple ci-contre, je le fais avec les deux points, mais vous n'en avez vraiment besoin que d'un.	f(x) = ax + b\\ 13 = 3(2) + b\\ 19 = 3(4) + b
Résoudre pour b. Dans l'exemple ci-contre, je le fais avec les deux points, mais vous n'en avez vraiment besoin que d'un.	13 - 3(2) = b\\ b = 7\\ 19-3(4) = b\\ b = 7
Écrire le résultat.	f(x) = 3x + 7

Une manière plus concise d'écrire cet algorithme est d’utiliser les formules qu’en fait il décrit :

Pour les points :

Algorithme : coordonnées

\big(x_i ; f(x_i)\big)\\ \big(x_f ; f(x_f)\big)

Le coefficient directeur a est le ratio du changement en f(x) sur le changement en x.

a = \frac{f(x_f)-f(x_i)}{x_f - x_i}

L'ordonnée à l'origine est obtenue en insérant les coordonnées d'un des deux points dans la fonction linéaire, et de résoudre cette équation pour b.

Algorithme : ordonnée à l

f(x_i) = a (x_i) + b\\ b = f(x_i) - a(x_i)

Résoudre un système d’équations avec les fonctions

Système d'équations Au début de ce cours, on a transformé une équation en fonction. On peut faire l’inverse pour trouver la solution d’un système d’équations. En fait, on sait déjà résoudre une équation de la forme y = ax + b graphiquement (regarder à quelle variable une image correspond), mais on peut aller plus loin.

Supposons le système d’équations suivant :

y = 12x + 16\\ y = -2x + 44

On peut considérer que ces deux équations sont des fonctions – on a simplement remplacé f(x) par y. A l’aide d’une feuille de calcul ou manuellement, on calcule quelques images de chaque fonction et on connecte les points obtenus. On obtient le graphique ci-dessus.

Maintenant, prenons le temps de réfléchir à ce que c’est, résoudre un système d’équations : c’est trouver le x et le y que deux équations ont en commun. Comme deux fonctions qui se croisent ont un point qui leur est commun, on devine que les coordonnées de ce point sont en fait les solutions du système d’équation.

Dans le graphique ci-dessus, les deux fonctions se croisent aux coordonnées (2 ; 40). Cela signifie que les solutions du système d’équation sont x =2 et y = 40.

Système d'équations - droites parallèles Il existe un cas où résoudre un système d’équations est impossible : lorsque les deux fonctions qui leur correspondent ont le même coefficient directeur a. En effet, ces deux fonctions vont dans la même direction : elles sont donc parallèles. Comme on le sait, deux droites parallèles ne se croisent jamais. Il n’y a donc pas de solutions à un tel système d’équations.