Supposons que la vitesse soit nulle et que la pression en haut soit la pression atmosphérique Patm. On obtient:
\frac{\rho 0^2}{2}+ \rho g h_1 + P_{atm} = \frac{\rho 0^2}{2}+ \rho g h_2 + P\\ \rho g h_1 + P_{atm} = \rho g h_2 + P\\ P = P_{atm} + \rho g h_1 - \rho g h_2\\ P= P_{atm} + \rho g (h_1 - h_2) \\ P = P_{atm} + \rho g \Delta h
On retrouve ainsi le principe fondamental de l'hydrostatique, comme nous avons vu dans la première partie de ce cours.
Nous avons vu que, selon la loi de conservation des débits, le produit de la section et de la vitesse est le même dans un conduit quelles que soient les variations de son diamètre.
D_V = A v = constant
Le théorème de Bernoulli nous permet de détecter un phénomène important: l'effet Venturi. Supposons que le conduit soit à l'horizontale, et donc que les termes contenant l'énergie potentielle se suppriment:
\frac{\rho g v_1^2}{2} + P_1 = \frac{\rho g v_2^2}{2} + P_2\\ P_2 = P_1 + \frac{\rho g}{2}(v_1^2 - v_2^2)
Si la section du conduit se réduit, la vitesse augmente: v2 > v1. La pression P2 devient inférieure à la pression P1. On peut utiliser ce phénomène pour créer une zone de basse pression qui peut attirer les gaz à plus haute pression relative. C'est la propriété des débits utilisées pour faire fonctionner une pompe à parfum.
On peut aussi utiliser ce phénomène pour produire de l'air frais ou faire fonctionner une pompe à essence, comme expliqué dans cette vidéo.
On a vu que le théorème de Bernoulli est basé sur l'énergie. Suivant les cas, différents types d'énergie sont convertis en d'autres formes d'énergie.
Supposons que nous ayons un réservoir à une hauteur h1. L'eau dans le réservoir est immobile (v1=0).
Lorsqu'on ouvre un robinet situé à h2 = 0, l'eau s'écoule à une vitesse v2. On considère que la pression en haut et en bas est la même: la pression atmosphérique.
Selon le théorème de Bernoulli, la situation se traduit comme suit:
\rho g h_1 = \frac{\rho g v_2^2}{2}
Le terme à gauche, multiplié par le volume, est l'énergie potentielle gravitique. Le terme à droite est l'énergie cinétique. En effet, en tombant du réservoir l'eau acquiert une énergie cinétique qui est égale à son énergie potentielle.
Maintenant, nous savons que la puissance est l'énergie divisée par le temps.
P_W = \frac{\Delta E}{\Delta t}
Noter l'utilisation de PW pour caractériser la puissance afin de la différencier de la pression P.
Nous avons vu que chaque terme dans le théorème est une pression ΔP. Si on multiplie une pression par un volume, on obtient donc une énergie (c'est l'inverse de ce que nous avions fait pour trouver ce théorème dans sa forme connue).
\Delta E = \Delta P V
Divisant l'énergie par le temps, on obtient la puissance:
P_W = \Delta P \frac{V}{\Delta t}
On reconnaît maintenant ce qu'est le volume par unité de temps: c'est le débit volumique. La puissance hydraulique est donc le produit de la pression, quelle qu'elle soit (potentielle, cinétique, etc.) par le débit.
P_W = \Delta P D_V
Il est bon maintenant d'insister que cette puissance est la "puissance maximale théorique". Nous devrons plus tard prendre en compte les pertes de charges ΔP dues au frottements entre le fluide et les côtés du conduit, ou aux obstacles dans le conduit (coudes, débitmètres, etc.)
Lisez le paragraphe ci-dessous et saisissez les valeurs manquantes.
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