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Conséquences de Bernoulli

Principe fondamental de l'hydrostatique

Supposons que la vitesse soit nulle et que la pression en haut soit la pression atmosphérique Patm. On obtient:

Vitesse égale à zéro

\frac{\rho 0^2}{2}+ \rho g h_1 + P_{atm} = \frac{\rho 0^2}{2}+ \rho g h_2 + P\\ \rho g h_1 + P_{atm} = \rho g h_2 + P\\ P = P_{atm} + \rho g h_1 - \rho g h_2\\ P= P_{atm} + \rho g (h_1 - h_2) \\ P = P_{atm} + \rho g \Delta h

On retrouve ainsi le principe fondamental de l'hydrostatique, comme nous avons vu dans la première partie de ce cours.

Effet Venturi

Nous avons vu que, selon la loi de conservation des débits, le produit de la section et de la vitesse est le même dans un conduit quelles que soient les variations de son diamètre.

Loi des débits reformulée

D_V = A v = constant

Le théorème de Bernoulli nous permet de détecter un phénomène important: l'effet Venturi. Supposons que le conduit soit à l'horizontale, et donc que les termes contenant l'énergie potentielle se suppriment:

Effet Venturi 1

\frac{\rho g v_1^2}{2} + P_1 = \frac{\rho g v_2^2}{2} + P_2\\ P_2 = P_1 + \frac{\rho g}{2}(v_1^2 - v_2^2)

Si la section du conduit se réduit, la vitesse augmente: v2 > v1. La pression P2 devient inférieure à la pression P1. On peut utiliser ce phénomène pour créer une zone de basse pression qui peut attirer les gaz à plus haute pression relative. C'est la propriété des débits utilisées pour faire fonctionner une pompe à parfum.

On peut aussi utiliser ce phénomène pour produire de l'air frais ou faire fonctionner une pompe à essence, comme expliqué dans cette vidéo.

Puissance hydraulique

On a vu que le théorème de Bernoulli est basé sur l'énergie. Suivant les cas, différents types d'énergie sont convertis en d'autres formes d'énergie.

Supposons que nous ayons un réservoir à une hauteur h1. L'eau dans le réservoir est immobile (v1=0).

Lorsqu'on ouvre un robinet situé à h2 = 0, l'eau s'écoule à une vitesse v2On considère que la pression en haut et en bas est la même: la pression atmosphérique.

Selon le théorème de Bernoulli, la situation se traduit comme suit:

Réservoir d

\rho g h_1 = \frac{\rho g v_2^2}{2}

Le terme à gauche, multiplié par le volume, est l'énergie potentielle gravitique. Le terme à droite est l'énergie cinétique. En effet, en tombant du réservoir l'eau acquiert une énergie cinétique qui est égale à son énergie potentielle.

Maintenant, nous savons que la puissance est l'énergie divisée par le temps.

Définition de puissance

P_W = \frac{\Delta E}{\Delta t}

Noter l'utilisation de PW pour caractériser la puissance afin de la différencier de la pression P.

Nous avons vu que chaque terme dans le théorème est une pression ΔP. Si on multiplie une pression par un volume, on obtient donc une énergie (c'est l'inverse de ce que nous avions fait pour trouver ce théorème dans sa forme connue).

Energie en fonction de pression et volume

\Delta E = \Delta P V

Divisant l'énergie par le temps, on obtient la puissance:

Puissance en fonction de pression, volume et temps

P_W = \Delta P \frac{V}{\Delta t}

On reconnaît maintenant ce qu'est le volume par unité de temps: c'est le débit volumique. La puissance hydraulique est donc le produit de la pression, quelle qu'elle soit (potentielle, cinétique, etc.) par le débit.

Pression fonction de pression et débit

P_W = \Delta P D_V

Il est bon maintenant d'insister que cette puissance est la "puissance maximale théorique". Nous devrons plus tard prendre en compte les pertes de charges ΔP dues au frottements entre le fluide et les côtés du conduit, ou aux obstacles dans le conduit (coudes, débitmètres, etc.)

 

Lisez le paragraphe ci-dessous et saisissez les valeurs manquantes.

On considère un réservoir contenant de l'eau. La surface de l'eau dans ce réservoir est située à une hauteur de 5 mètres par rapport à un robinet situé verticalement en dessous du réservoir. Ignorant la friction dans le tuyau, et supposant que la pression reste constante, on peut calculer la vitesse de l'eau en sortie de robinet: arrondie au dixième, m/s.

Le tuyau et le robinet ont un diamètre intérieur de 4 cm. Le débit volumique est donc, arrondi à l'unité, de L/s ( m3/s).

On a vu que la charge ΔP était égale au produit de la masse volumique du fluide avec la gravité et la hauteur. La puissance hydraulique en sortie de robinet est donc égale à cette charge multipliée par le débit: arrondi à l'unité W.

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