Energie dans un fluide

On peut dénombrer trois types d'énergie qui peuvent être présents dans un fluide:

l'énergie cinétique

C'est l'énergie contenue dans le mouvement d'une masse, quel que soit son état. L'énergie étant égale au travail accompli pour amener une masse à une certaine vitesse, on peut dériver:</p

Energie cinétique

dE = F dx\\ dE = m \frac{dv dx}{dt} \\ dE = m v dt\\ E = \frac{m v^2}{2}

l'énergie potentielle

L'énergie potentielle est l'énergie stockée dans le champ gravitique. Elle est égale au travail qu'il a fallu fournir pour amener une masse à une certaine hauteur h par rapport à un point de référence. On peut encore dériver:

Dérivation énergie potentielle

dE = F dx\\ dE = m g dx\\ E = m g h

l'énergie élastique

C'est l'énergie donnée à un fluide par variation de pression ou de volume.. Dans le cas d'un fluide incompressible:

Energie élastique

dE = F dx\\ dE = P A dx\\ E = P A x\\ E = PV

Il y a donc trois formes d'énergie présentes dans un fluide. Par la loi de conservation de l'énergie, si aucune perte n'est enregistrée entre deux points:

\frac{mv^2}{2} + mgh + PV = constante

Cas des fluides incompressibles

Un fluide incompressible est un fluide dont le volume ne peut être réduit. C'est le cas notamment de l'eau, mais aussi de la grande majorité des autres liquides. A de très hautes pressions, il existe toujours une certaine compressibilité, mais considérer un fluide comme incompressible pour simplifier les calculs reste sûr dans les cas qui nous intéressent.

Si le volume reste constant, nous pouvons réécrire notre formule pour l'énergie dans un fluide.

\frac{m v_1^2}{2} + mg h_1 + P_1 V = \frac{m v_2^2}{2} + mg h_2 + P_2 V

En effet, dans le cas d'un fluide incompressible seuls la vitesse, la hauteur et la pression agissant sur le fluide peuvent changer.

On peut utiliser la masse volumique pour simplifier cette formule:

\frac{\rho V v_1^2}{2}+ \rho V g h_1 + P_1 V = \frac{\rho V v_2^2}{2}+ \rho V g h_2 + P_2 V

Comme le volume est présent dans tous les termes, on peut simplifier et obtenir le théorème de Bernoulli:

\frac{\rho v_1^2}{2}+ \rho g h_1 + P_1 = \frac{\rho v_2^2}{2}+ \rho g h_2 + P_2