La définition du travail W est le produit d'une force avec un déplacement.
W = \vec{F} . dx \hat{x}
Noter que c'est un produit scalaire - un produit entre deux vecteurs - ce qui donne une quantité sans direction. Cette quantité, le travail, est en joules J.
L'énergie E est la capacité à faire du travail. Si un système fait du travail, il dépense de l'énergie. Mathématiquement :
\Delta E =- \Delta W
Maintenant, considérons une particule qui acquiert une vitesse v. Du travail a été effectué sur cette particule, donc elle a gagné de l'énergie.
Pour pouvoir faire le calcul, on doit se rappeler de certaines relations entre les quantités:
On a donc :
dE = F dx\\\ dE = m a dx\\ dE = m dv \frac{dx}{dt}\\ dE = m v dv
Il ne reste qu'à prendre la primitive, et on obtient l'énergie cinétique linéaire :
E = \frac{1}{2}m v^2
On peut utiliser la même logique dans un des coordonnées polaires θ, r. La différence sera dans comment la masse est incluse à ce calcul.
On reprend la définition du travail, mais on doit se rappeler que le déplacement est maintenant un angle. Par ailleurs, on se rappelle qu'une force appliquée perpendiculairement à un axe de rotation est un moment M.
On doit aussi se rappeler que :
dE = M d\theta\\ dE = F r d\theta\\ dE = m a r d\theta\\ dE = m \alpha r^2 d\theta\\ dE = mr^2 \frac{d\theta}{dt} d\omega\\dE = mr^2 \omega d\omega
A ce stade, il est important de réfléchir sur ce que le terme mr2 veut dire. Il s'agit d'une distribution de masses situées toutes à une distance r de l'axe de rotation- une roue très fine. Mais nous voulons pouvoir prendre d'autres géométries en compte. On crée donc une quantité, appelée moment d'inertie I, qui est la somme de toutes les masses à toutes les distances de l'axe de rotation.
I = \sum_i{m_i r_i^2}
Plaçant cette nouvelle quantité dans notre expression, il ne nous reste plus qu'à prendre la primitive. L'énergie cinétique rotationnelle est donc donnée par :
E = \frac{1}{2}I \omega^2
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