Pour trouver la fonction décrivant un polynôme du second degré, on n'a besoin que de deux coordonnées: celles de l'ordonnée à l'origine (0; f(0)) et celles du vertex (h ; k). Le vertex est l'extremum (minimum ou maximum) d'un polynôme du second degré.

Nous démontrerons comment trouver les coordonnées du vertex dans la partie Dérivées simples. Dans l'attente, nous ne ferons qu'utiliser les formules pour h et k.

On a alors:

Dans l'exemple ci-dessus, on a:

• c = 30
• h = 5
• k = 10

On peut donc écrire deux équations:

C'est un système d'équations que l'on peut résoudre facilement.

Dans notre exemple:

La fonction représentant cette parabole est donc:

En général, un problème à résoudre en mathématiques n'est pas donné sous forme de graphique mais sous forme d'énoncé: une explication d'une situation avec des données adéquates.

Il est souvent nécessaire de diviser la lecture d'énoncé en deux parties:

• l'information donnée
• la ou les quantités à calculer (et ce qui nous permet de les calculer)

La résolution du problème contient alors deux parties

• l'identification des types de données
• l'application de procédures de calcul

Exemple en physique

Un projectile est lancé à la verticale à une vitesse de 30 m/s. Au bout de combien de temps ce projectile atteindra-t-il son point le plus haut? La gravité agissant sur le projectile est égale à 9,81 m.s^-2.

Information donnée

Ici, on nous donne une vitesse initiale :

On nous donne aussi la valeur de la gravité :

Quantité à calculer

L'énoncé nous dit qu'on va devoir calculer un temps t. Il va donc falloir trouver des relations entre vitesse et temps d'une part, et temps et accélération d'autre part. On sait que le temps est lié à la vitesse et à l'accélération par la position.

Identification des types de données

On lit dans le formulaire deux formules:

• une qui donne la position en fonction de la vitesse :

• une qui donne la position en fonction de l'accélération :

Avec ces deux fonctions, on peut en créer une troisième qui donne la position du projectile en fonction du temps, avec Δx = f(t) et Δt = t.

En incorporant les données, on obtient :

C'est un polynôme de degré 2 dont le c est égal à 0.

Application des procédures de calcul

Comme le coefficient directeur de cette fonction est négatif, on comprend qu'elle a un maximum. Le vertex a des coordonnées de temps et de position. La position est donc maximale au vertex, et ça tombe bien: nous recherchons le temps à ce point. Nous n'avons besoin que de calculer la première coordonné du vertex.