Nous avons vu que la dérivée f'(x) d'une équation du second degré f(x) traverse l'axe des abscisses lorsque f(x) passe par son vertex (minimum ou maximum).

Donc, pour tout polynôme de la forme suivante :

la dérivée a la forme :

et f'(x) = 0 lorsque f(x) = h, la coordonné x de son vertex.

C'est la formule que nous avons utilisé pour écrire une fonction du second degré. C'est toujours satisfaisant de savoir d'où toutes ces formules viennent !

Ce qui nous intéresse maintenant est de voir si nous pourrions trouver n'importe quelle solution réelle d'une équation du second degré. Nous avons utilisé les identités remarquables jusqu'à maintenant, mais cela devient vite inutile.

Graphiquement, ce qu'on appelle une solution est la coordonné x d'une intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. En regardant ces points, on voit que les deux solutions seraient faciles à trouver si seulement nous pouvions calculer β, l'écart entre une solution et la coordonnée h du vertex. En effet :

Nous allons prendre une de ces deux solutions et la mettre dans l'équation du second degré. Avec un peu de chance, nous pourrons la résoudre pour β.

Tout d'abord, nous introduisons la solution dans l'équation et développons.

Ensuite, nous remplaçons h par sa formule.

Tout cela devient bien compliqué. Heureusement, certains termes se simplifient et s'annulent.

Maintenant, commençons à résoudre pour β, comme c'est ce que nous cherchons :

Pour clarifier, il serait bien d'avoir un diviseur commun à droite du signe égal.

Tiens, deux termes se simplifient !

Nous pouvons enfin finir de résoudre pour β :

Nous pouvons maintenant intégrer cette expression pour β dans notre équation originale pour x. Nous en profitons pour la réorganiser un peu - juste pour la rendre un peu plus lisible.

Cette expression s'appelle la formule quadratique. Il était d'usage de simplement l'apprendre par cœur et de l'appliquer à n'importe quelle équation du second degré. Ci-dessous vous trouverez l'ancienne procédure de résolution d'équation du second degré - à l'usage, c'est cette méthode que l'on privilégie.

Une fonction décrit toutes les images pour toutes les variables entre deux intervalles - celle du graphique.

Pour une fonction linéaire, trouver x pour une valeur de f(x), c'est facile: il suffit de résoudre pour x.

Les choses ne sont pas si simples pour un polynôme. Dans l'exemple ci-contre, on voit que plusieurs cas peuvent se présenter.

• Si f(x) = y_a : il y a deux solutions possibles, x₁ et x₂
• Si f(x) = y_b : il n'y a qu'une solution, et c'est la première coordonnée du vertex
• Si f(x) = y_c : il n'y a aucune solution réelle

Il va falloir donc développer une procédure qui nous permettra de déterminer si il y a des solutions, combien il y en a, et comment les trouver.

Tout d'abord, on doit modifier notre fonction en équation de la forme suivante:

Pour ce faire, on remplace f(x) dans la fonction par y, la valeur pour laquelle on cherche x. On passe le y de l'autre côté du signe égal.

On crée une nouvelle valeur pour la constante c, égale à la différence entre c et y. On remplace le c original par cette nouvelle valeur. On obtient alors une équation de la forme désirée.

Ensuite, on calcul le déterminant - une valeur qui détermine le nombre de solutions possibles à cette équation.

• Si Δ est négatif, il n'y a pas de solution réelle
• Si Δ est égal à zéro, il y a une solution: la première coordonnée du vertex.

• Si Δ est positif, il y a deux solutions données par cette formule (attention; il y a deux calculs à faire):