Fonctions simples

Vocabulaire des fonctions

Dans un premier temps, nous allons voir des fonctions qui ressemblent à ça : Définitions d'une fonction

Une fonction "prête à l'emploi" contient des valeurs pour trois nombre: le coefficient directeur a, l'ordonnée à l'origine b et l'exposant ou degré n. Pour obtenir l'image du nombre x, on remplace le x par un nombre, et on fait le calcul.

Dans les descriptions suivantes, j'ai ajouté des animations décrivant le comportement d'une fonction lorsque son coefficient directeur a passe de négatif à positif. Tentez d'identifier les coefficients a et b dans les formules indiquées sur les animations, et observez le comportement de la courbe quand on change a.

Fonction affine

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Animation fonction linéaire Un premier exemple de fonction est la fonction affine ou linéaire. Son degré n est égal à 1. Elle a donc la forme:

$f(x) = ax + b$

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Une fonction affine produit, lorsqu'on calcule un grand nombre d'images, une ligne droite.

On remarquera que lorsque a est positif, la fonction augmente à mesure que x → ∞. Si a est négatif, la fonction décroît.

L'ordonnée à l'origine b est la valeur de f(0), c'est à dire l'image de la fonction lorsque x = 0. Si b = 0 : on dit que la fonction est proportionnelle.

Fonction carré, fonction cube

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Les fonctions de degré 2 et 3 augmentent ou décroissent rapidement.

Animation fonction carré La fonction carré (de degré 2) à la forme suivante:

$f(x) = ax^2 + b$

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Comme pour la fonction linéaire, b est l'ordonnée à l'origine - l'endroit où la courbe formée par la fonction croise l'axe des ordonnées. Dans l'exemple ci-contre, b = 25.

Si le coefficient directeur est positif, la fonction augmente à mesure que x → ± ∞. Si il est négatif, elle décroît à mesure que x → ± ∞.

La fonction de degré 3 ("cube") se comporte différemment. En effet, si le carré d'un nombre négatif est un nombre positif, il n'en va pas de même pour le cube.

Animation fonction cube La fonction cube a la forme suivante:

$f(x) = ax^3 + b$

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Comme toujours, b est l'ordonnée à l'origine.

Lorsque le coefficient a est positif, la fonction décroît lorsque x→-∞ et croît lorsque x→∞. Si a est négatif, la fonction croît lorsque x→-∞ et décroît lorsque x→∞

Fonction inverse

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Une fonction inverse décrit une situation où la variable est inversement proportionnelle à l'image: plus la variable est grande, plus l'image est petite; plus la variable est petite, plus l'image est grande.

Animation fonction inverse La fonction inverse a la forme suivante:

$f(x) = \frac{a}{x} + b$

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Comme 1/x = x^-1, on peut aussi l'écrire comme suit:

$f(x) = a x^{-1} + b$

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On notera que les choses sont un peu différentes ici. Tout d'abord, b ne correspond plus à l'ordonnée à l'origine. En effet, lorsque x approche de zéro, la fonction approche l'infini. Dans une fonction inverse, b est la valeur vers laquelle f(x) tend à mesure que x croît, que ce soit vers ∞ ou vers -∞. Dans ce cas, on appelle b l'asymptote de la courbe.

Si a est positif, f(x) tend vers -∞ en approchant de zéro par la gauche, et vers ∞ en approchant de zéro par la droite. Si a est négatif, f(x) tend vers ∞ en approchant de zéro par la gauche, et vers -∞ en approchant de zéro par la droite.