Utiliser ce qu'on a appris
Avec l’outil des dérivées, on peut maintenant analyser le comportement d’un polynôme de degré 3.
f(x) = ax^3 + b x^2 + c x + d
Extrema locaux
En prenant la dérivée de cette fonction, on obtient un polynôme du second degré avec des facteurs a', b', c'.
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f'(x) = 3a x^2 + 2b x + c |
a' = 3a |
b' = 2b |
c' = c |
f'(x) = a' x^2 + b' x + c' |
Une fois identifiés, les coefficients a', b' et c' nous permettent de trouver les coordonnées des extrema locaux de la fonction.
On a vu qu'un extremum est un minimum ou un maximum dans une fonction. Un extremum local est un minimum ou un maximum avant ou après une inflexion. On note que les positions des extrema locaux sur f(x) correspondent aux valeurs de x quand f'(x) = 0. On calcule donc le déterminant de la dérivée:
\Delta = b'^2 - 4 a' c'
SI le déterminant de notre dérivée est inférieur à zéro, notre fonction du troisième degré n'a pas d'extrema local. Si il est positif, on peut calculer leurs coordonnées x1 et x2 en utilisant la même formule qu'auparavant.
x = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta}}{2 a'}
Les coordonnées f(x1) et f(x2) sont trouvées simplement en remplaçant x dans la fonction du troisième degré.
f(x_1) = a x_1^3 + b x_1^2 + c x_1 + d
f(x_2) = a x_2^3 + b x_2^2 + c x_2 + d
Point d'inflexion
Le point d'inflexion dans une courbe représentant une fonction du 3ème degré se trouve entre deux extrema. C'est le point auquel la courbe change de direction.
On peut obtenir les coordonnées de ce point de deux manières
- en calculant la coordonnée h du vertex de f'(x) et en l'insérant dans la fonction originelle pour trouver f(h)
- en prenant la deuxième dérivée de la fonction
C'est en fait la même chose, mais continuons à utiliser des dérivées.
On trouve la deuxième dérivée :
f''(x) = a'' x + b'' \\ a'' = 2 a' = 6 a \\ b'' = b' = 2 b
La coordonnée x3 du point d'inflexion se trouve à l'intersection de la seconde dérivée et de l'axe des abscisses - f''(x) = 0.
0 = a'' x_3 + b'' \\ x_3 = \frac{b''}{a''}
Pour trouver f(x3), il suffit d'insérer x3 dans la première fonction.
La méthode du vertex de la première dérivée est simplement:
\big( h =\frac{-b'}{2a'} ; k = f(h) \big)