L'inverse d'une dérivée

Supposons que nous ayons une fonction dérivée. Comment pourrait-on retrouver la fonction dont elle est dérivée? En faisant simplement l'inverse de ce qu'on fait pour trouver une dérivée.

On appelle l'inverse d'une dérivée une primitive. Les primitives des dérivées simples se retrouvent en faisant l'inverse de ce qu'on faisait pour trouver une dérivée. Là où on multipliait, on divise; là où on retirait, on ajoute...

Fonction	Primitive
f'(x) = a x^n	f(x) = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + c

Comme vous le constatez, on ajoute aussi une constante c à la primitive, car rien ne dit qu'elle n'existe pas - excepté la situation étudié.

Par exemple, on sait que le mouvement est décrit par la relation suivante:

v =\frac{\Delta x}{\Delta t}

Le Δ dans cette formule signifie "changement". Si on rend ce changement infiniment petit, pour pouvoir trouver des fonctions continues et bien définies, on le remplace par un d.

v = \frac{dx}{dt}

Résolvant pour dx :

dx = v dt

Cette notation nous dit "la dérivée de la position dx par rapport au temps dt est égale à une vitesse constante". On peut retraduire cette phrase sous la forme d'une fonction dérivée : on se retrouve avec la dérivée de x fonction de t. Si on cherche x fonction de t, on doit prendre la primitive de cette fonction.

x'(t) = v

La vitesse v ne dépend pas de t - c'est une constante. Se rappelant que, par définition, t⁰ = 1 :

Primitive 2

x'(t) = v t^0\\x(t) = v \frac{t^{0+1}}{0+1}\\ x(t) = v \frac{t^1}{1}\\ x(t) = v t

Mais il pourrait y avoir une constante. La fonction donne une position x, donc cette constante est une position initiale x₀.

x(t) = v t + x_0

Nous avons ainsi retrouvé l'expression pour la position en fonction du temps, dépendant de la vitesse.
Considérons maintenant l'accélération:

a = \frac{dv}{dt}\\ dv = a dt

A nouveau on peut voir qu'on a à faire à une dérivée. Comme on l'a fait précédemment, on peut retrouver sa primitive. Cette fois, ce qu'on calcule est une vitesse, donc la constante est une vitesse initiale v₀.

Primitive de a

v'(t)= a t^0\\v(t) = a \frac{t^{0+1}}{0+1}\\ v(t) = a t + v_0

Mais on se rend compte qu'on peut aller plus loin. Remplaçant v par sa définition, et résolvant pour dx :

Primitive de x fonction de a

\frac{dx}{dt} = a t + v_0\\ dx =( a t + v_0) dt\\ dx = a t dt + v_0 dt

Cette fois, il va falloir prendre la primitive de deux fonctions. Ce qu'on calcule est une position, donc on n'oublie pas d'ajouter une position initiale x₀.

x fonction de a, v et t

x'(t) = a t + v_0 t^0\\ x(t) = a \frac{t^{1+1}}{1+1} + v_0 \frac{t^{0+1}}{0+1}\\ x(t) = a \frac{t^2}{2} + v_0 t + x_0

On a obtenu, à partir des définitions de la vitesse et de l'accélération, une fonction qui nous permet de calculer la position de quelque chose qui accélère à n'importe quel temps.