Trouver l'image ou la variable

Pour calculer l'image d'un nombre telle que décrite par une fonction, il suffit de remplacer la variable par le nombre et d'effectuer le calcul.

Exemple: trouver l'image de 9 dans la fonction racine suivante:

Exemple 1

f(x) = 2 \sqrt{x}+ 5\\ f(9) = 2 \sqrt{9} + 5 \\ f(9) = 2 * 3 + 5 \\ f(9) = 6 + 5 \\ f(9) = 11

On peut aussi faire l'inverse: trouver la variable x à partir d'une image égale à 11. Il suffit de remplacer f(x) par 11 et de résoudre pour x.

Exemple 2

11 = 2 \sqrt{x} + 5 \\ 11 - 5 = 2 \sqrt{x} \\ \frac{6}{2} = \sqrt{x} \\ 3^2 = x \\ 9 = x

La variable x et son image f(x) forment ensemble les coordonnées d'un point sur un graphique:

( x; f(x))

Il est souvent nécessaire, pour analyser des tendances dans les données, de faire un graphique à partir d'une fonction. S'il est toujours possible de le faire manuellement, il est souhaitable de prendre l'habitude de le faire à l'aide d'un tableur: c'est beaucoup plus rapide.

Un tableur est une "grosse calculatrice" qui permet d'effectuer des calculs multiples en une seule fois. Dans une première colonne, on écrit des valeurs pour la variable x. Mon conseil est d'écrire une valeur de départ (par exemple, -100), puis d'ajouter un nombre à chaque cellule suivante dans la colonne. Placer ce nombre dans une cellule à part permet de pouvoir changer ce "pas" automatiquement pour tous les calculs.

Tableur 1 Dans la cellule A2, j'écris la valeur de départ: -100.

Dans la cellule C4, j'écris une valeur pour le pas - le nombre par lequel chaque variable augmente.

Dans la cellule A3, j'écris une formule qui consiste à ajouter au contenu de la cellule supérieure (A2) le contenu de la cellule C4. Je n'oublie pas d'ajouter des dollars $ à la coordonnée de la cellule dans laquelle j'ai mis mon pas. Ainsi, le tableur ira toujours chercher le pas dans la même cellule.

Je tire la cellule (petit carré en bas à droite) vers le bas, jusqu'au nombre de lignes souhaitée.

Tableur 2 Dans la cellule B2, j'entre la fonction. Dans l'exemple ci-contre, j'ai mis les valeurs pour a, n et b dans les cellules M4, N4 et O4 respectivement. On peut choisir d'entrer les nombres directement, surtout si on a à n'analyser qu'une fonction et qu'on ne souhaite pas pouvoir modifier les constantes facilement.

Les opérateurs avec un tableur sont assez intuitifs. D'abord, on dit au tableur que le contenu de cette cellule est un calcul à faire en ouvrant avec le signe "=". Addition et soustraction sont représentés par les signes + et - ; multiplication et division, par les signes * et / ; et exposant, par un accent circonflexe ^.

Une fois la formule entrée, on tire la cellule (petit carré en bas à droite) vers le bas jusqu'à la dernière ligne souhaitée.

Trouver les coefficients d'une fonction

Si on doit trouver les valeurs pour a et b d'une fonction pour pouvoir l'écrire, on doit avoir à notre disposition deux éléments d'information:

la forme de la fonction (linéaire, carrée, cube, inverse ou racine)
les coordonnées (x; f(x)) de deux points sur la courbe formée par la fonction

Pour rappel, la forme d'une fonction dépend de l'exposant n sur la variable.

f(x) = a x^n + b

Supposons que nous connaissions les coordonnées de deux points; (x₁ ; f(x₁)) et (x₂ ; f(x₂)). En les plaçant dans la fonction, on obtient deux équations: un système d'équations à résoudre pour deux inconnues: a et b.

Tout d'abord, on résout la première équation pour b.

b = {f(x_1) - a x^n_1}

Dans la deuxième équation, on remplace b par cette expression.

f(x_2) = a x^n_2 + f(x_1) - a x^n_1

On résout pour a:

a =\frac{ f(x_2)-f(x_1)}{x^n_2 - x^n_1}

Enfin, on utilise l'expression pour b dans la deuxième étape avec le a qu'on vient de trouver.

b = f(x_1) - a x^n_1

On peut faire la même chose avec la deuxième équation pour nous assurer de notre résultat:

b = f(x_2) - a x^n_2