Préparer l'équation

Une fonction décrit toutes les images pour toutes les variables entre deux intervalles - celle du graphique.

Solutions d'une équation polynomiale Pour une fonction linéaire, trouver x pour une valeur de f(x), c'est facile: il suffit de résoudre pour x.

Les choses ne sont pas si simples pour un polynôme. Dans l'exemple ci-contre, on voit que plusieurs cas peuvent se présenter.

Si f(x) = y_a : il y a deux solutions possibles, x₁ et x₂
Si f(x) = y_b : il n'y a qu'une solution, et c'est la première coordonnée du vertex
Si f(x) = y_c : il n'y a aucune solution réelle

Il va falloir donc développer une procédure qui nous permettra de déterminer si il y a des solutions, combien il y en a, et comment les trouver.

Tout d'abord, on doit modifier notre fonction en équation de la forme suivante:

a x^2 + b x + c = 0

Pour ce faire, on remplace f(x) dans la fonction par y, la valeur pour laquelle on cherche x. On passe le y de l'autre côté du signe égal.

y = ax^2 + b x + c\\ ax^2 + b x + c - y = 0\\

On crée une nouvelle valeur pour la constante c, égale à la différence entre c et y. On remplace le c original par cette nouvelle valeur. On obtient alors une équation de la forme désirée.

Identités remarquables

Dans certains cas, trouver la ou les solutions pour x est relativement simple. Il suffit de trouver l'identité remarquable à laquelle cette équation ressemble.

On note trois identités remarquables :

a^2 + 2ab+b^2 = (a+b)^2

a^2 - 2ab+b^2 = (a-b)^2

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

L'idée est de vérifier si l'équation à laquelle on a affaire correspond à une de ces identités.

Maintenant, un problème de confusion peut survenir. En effet, ces identités sont énoncées avec des facteurs a et b qui sont différents des facteurs a, b et c de notre équation. Pour clarifier, je vous propose que nous ajoutions un indice aux facteurs de notre équation.

a_x x^2 + b_x x + c = 0

Nous pouvons maintenant établir des tests pour les différentes identités remarquables en nous concentrant sur la valeur du terme b_x= 2ab

Test	Forme de l'équation	Solutions de x
b_x = 2\sqrt{a_x c_x}	(\sqrt{a_x}x +\sqrt{c_x})^2 =0	x = -\sqrt{\frac{c_x}{a_x}}
b_x = - 2 \sqrt{a_x c_x}	(\sqrt{a_x}x - \sqrt{c})^2 = 0	x =\sqrt{ \frac{c_x}{a_x}}
b_x = 0	(\sqrt{a_x} x + \sqrt{c_x})(\sqrt{a_x} x - \sqrt{c_x})=0	x = \pm \sqrt{\frac{c_x}{a_x}}

Cette première méthode de résolution d'une équation du second degré a le mérite d'être simple : si l'équation passe un test, alors trouver sa solution n'est qu'une question d'utiliser la formule correspondante.

Cependant, cette méthode est limitée. Il faudra que nous avancions dans l'analyse des fonctions en utilisant des dérivées simples pour pouvoir trouver n'importe quelle solution réelle d'une équation du second degré.