Logarithme et exponentielle

Logarithme de base 10

Un logarithme de base 10 est le nombre de fois qu'on peut multiplier 1 par 10 pour former un nombre.

Par exemple, le logarithme de 1000 est égal à 3. En effet, on peut multiplier 1 par 10 trois fois pour faire mille.

On utilise une échelle logarithmique pour représenter des données qui changent rapidement. En effet, on peut voir que certaines données augmentent, mais on peut se demander si l'augmentation elle-même augmente. Si on passe à une échelle logarithmique, une courbe plate indique que les données augmentent constamment; une courbe qui croît indique que l'augmentation elle-même augmente.

Par exemple, le graphique ci-contre montre l'évolution de cas de COVID-19 en France depuis le début de l'année 2020. On constate très facilement avec ce graphique à échelle normale que le nombre de cas augmente. Par contre, on ne voit pas clairement si cette augmentation des cas est constante (par exemple, 1000 cas par jour) ou qu'elle-même augmente (1000 cas, puis 1200 cas, puis 1600 cas...).

Pour avoir une vision plus précise, on doit convertir ce graphique à l'échelle logarithmique. Sur l'échelle des ordonnées, les valeurs sont maintenant logarithmiques: des multiples de 10.

Là, on voit que l'augmentation des cas est resté constante pendant une bonne partie de l'été, puis qu'elle a augmenté dramatiquement à partir de la fin août. L'utilité de ce genre de représentation est claire pour les pouvoirs publics: dès que cette courbe commence à augmenter, il faut faire quelque chose pour la rendre plate (en anglais: "flattening the curve").

Source des graphiques: https://www.worldometers.info/coronavirus/country/france/

L'inverse du logarithme est la puissance de 10. On peut donc écrire deux expressions pour deux nombres x et y :

log(x) = y

x = 10^y

On constate qu'une fonction logarithmique ne prend pas de valeur négative, et tend vers -∞ lorsqu'elle approche de zéro. Lorsque x=0, log(x) = 1. Enfin, lorsque x est supérieur à 1, la courbe augmente plus lentement.

Logarithme népérien

Le logarithme naturel, ou népérien, est un logarithme de base e.

e = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} = \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{1 \times 2\times 3\times 4} = 2,71828

Illustration logarithme naturel Les formules liant logarithme et exponentielle naturels sont similaires à celles pour le logarithme décimal (de base 10):

ln(x) = y

x = e^y

La courbe formé par le logarithme naturel est similaire à celle du logarithme décimal.

On utilise souvent les fonctions logarithme et exponentielle de base e pour l'ajustement affine de données statistiques.

Une croissance exponentielle est une augmentation qui augmente elle même. On se souvient des suites géométriques:

u_{n+1}=u_n q

Par exemple, la croissance d'une population peut être donné par:

Suite géométrique population

u_{1} = u_0 \times q \\ u_2 = u_1 \times q = u_0 \times q^2\\ u_n = u_0 q^n

Ici, u₀ est la population initiale et q est le taux de croissance de la population. Si ce taux de croissance est de 2% et que la population initiale est de 5000 :